M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

pořadí vektorů

~a;~b znaménko: ~b  ~a = (~a ~b). Říkáme, že vektorový součin je

1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti

9

antikomutativní. Tuto vlastnost si za chvíli pro obecné vektory

~a;~b dokážeme

– plyne lehce ze souřadnicového vyjádření vektoru

~a ~b.

Poznamenejme, že vektorový součin libovolné z dvojic souřadnicových vektorů

~e1; ~e2; ~e3 si můžeme snadno zapamatovat z následujícího diagramu:

-

@

@

@

I

@

@

@

q

~e1

q

~e2

q~e3

Postupujeme-li ve směru šipek, je vektorovým součinem dvou po sobě jdoucích
vektorů třetí vektor s kladným znaménkem, postupujeme-li proti směru šipek,
musíme u třetího z vektorů (výsledného vektorového součinu) změnit znaménko,
např.

~e1  ~e3 = ~e2. Vektorový součin dvou stejných souřadnicových vektorů

je roven nulovému vektoru – plyne to buď přímo z definice vektorového součinu
(

' = 0) nebo z výpočtu v souřadnicích.

V následující větě si shrneme všechny důležité vlastnosti vektorového součinu,

jejich platnost plyne bez dlouhého počítání ze souřadnicového vyjádření vektoro-
vého součinu (z determinantů). Přímo z definice vektorového součinu bychom je
dokazovali mnohem hůře.

Věta 1.2: Nechť

~a;~b;~c 2 R, kde k 2 R. Pak platí :

1) ~

b  ~a = (~a ~b)

(antikomutativní zákon)

2)

~a  (~b + ~c) = ~a ~b + ~a  ~c, (~a +~b)  ~c = ~a  ~c +~b  ~c

(distributivní zákony)

3)

k:(~a ~b) = (k:~a) ~b = ~a  (k:~b):

D˚

ukaz: Všechny vzorce plynou bez problémů z pravidel pro počítání s deter-

minanty. Např.

~b  ~a =

~e1 ~e2 ~e3

b1 b2 b3

a1 a2 a3

=

~e1 ~e2 ~e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

=

(

~a ~b) ;

neboť vyměníme-li v determinantu dva řádky, determinant změní znaménko. Po-
dobně

~a  (~b + ~c) =

~e1

~e2

~e3

a1

a2

a3

b1 + c1 b2 + c2 b3 + c3