M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

ukazuje-li ukazováček pravé ruky ve směru vektoru

~a a prostředníček ve směru

vektoru ~

b, pak palec ukazuje směr vektoru ~a  ~b. Pravidlo pravé ruky můžeme

také popsat tak, že ukazují-li naše zahnuté prsty pravé ruky ve směru od vektoru

~a (prvního vektoru v dané trojici) k vektoru ~b (druhému vektoru v dané trojici),

pak opět palec ukazuje směr vektoru

~a ~b. Poznamenejme, že pořadí vektorů v

trojici

~a;~b;~a ~b je důležité – při změně v pořadí např. prvních dvou vektorů na

~b;~a;~a~b bychom z trojice vektorů pozitivních dostali trojici vektorů negativních.

1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti

5

K tomu se ještě později podrobněji vrátíme.

Velikost (neboli v

R3 norma) vektoru ~a  ~b. Opět předpokládejme, že

vektory

~a;~b nejsou rovnoběžné. Pak tyto vektory určují rovnoběžník se stranami

~a;~b a obsahem P , tento obsah lze snadno vypočítat. Označme ' úhel mezi vektory

~a;~b, pak sin ' = h=jj~bjj, kde h je výškou rovnoběžníka, odtud h = jj~bjj: sin '.

Plocha

P rovnoběžníka sestrojeného nad vektory ~a;~b je rovna součinu velikostí

jeho základny a výšky, tedy

P = jj~ajj:h = jj~ajj:jj~bjj: sin ' :

-

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

pp

~a

~b h

' p

-

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

~a

~b

6

~a ~b

pp

Definujme nyní velikost

jj~a  ~bjj jako obsah P rovnoběžníka sestrojeného nad

vektory

~a;~b, tedy jj~a ~bjj = jj~ajj:jj~bjj: sin '.

V případě rovnoběžných vektorů

~a;~b (tedy ~a = k:~b, kde k 2 R) má rovnoběžník

nulový obsah – vektory ležící v přímce vlastně žádný rovnoběžník neurčují. V tom
případě vychází