M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

výpočtem. Víme, že pro navzájem kolmé vektory musí vyjít jejich skalární součiny
(

~a ~b) q~a, (~a ~b) q~b nulové. Počítejme

(

~a ~b) q~a =

a2 a3

b2 b3

 ;

a1 a3

b1 b3

 ;

a1 a2

b1 b2

!

q (a1; a2; a3) =

a2 a3

b2 b3

 :a1

a1 a3

b1 b3

 :a2

+

a1 a2

b1 b2

 :a3

=

a1 a2 a3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

= 0

;

zcela analogicky bychom ověřili (

~a  ~b) q~b. V tomto případě by ve výsledném

determinantu v prvním a ve třetím řádku byl tentýž vektor (

b1; b2; b3) a takový

determinant je nutně nulový.
Abychom dokázali druhou podmínku pozitivnosti trojice vektorů

~a;~b;~a~b, označme

nejdříve složky vektoru

~a ~b = (w1; w2; w3), tedy

(

w1; w2; w3) =

a2 a3

b2 b3

 ;

a1 a3

b1 b3

 ;

a1 a2

b1 b2

!

:

Jestliže je trojice

~a;~b;~a  ~b pozitivně orientovaná, musí podle definice v před-

cházejících učebních textech platit

a1 a2 a3

b1 b2 b3

w1 w2 w3

> 0. Ale to je snadné ukázat,

neboť rozvojem podle posledního řádku dostaneme:

a1 a2 a3

b1 b2 b3

w1 w2 w3

=

a2 a3

b2 b3

 :w1

a1 a3

b1 b3

 :w2

+

a1 a2

b1 b2

 :w3

=

w1:w1 + w2:w2 + w3:w3 = w2

1 + w

2

2 + w

2

3 = jj ~

wjj2 > 0 :

Zbývá dokázat platnost poslední podmínky

jj~a ~bjj = jj~ajj:jj~bjj: sin ', k tomu bu-

deme potřebovat právě výše uvedenou Lagrangeovu identitu. Podle této identity
a známého vzorce cos

' = (~a q~b)=(jj~ajj:jj~bjj) pro počítání skalárního součinu ~a q~b

dvou vektorů svírajících úhel

' platí:

jj~a ~bjj2 = jj~ajj2:jj~bjj2 (~a q~b)2 = jj~ajj2:jj~bjj2 jj~ajj2:jj~bjj2: cos2 ' =

1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti

8

jj~ajj2:jj~bjj2:(1 cos2 ') = jj~ajj2:jj~bjj2: sin2 ' :

Odmocníme-li výsledný vztah

jj~a~bjj2 = jj~ajj2:jj~bjj2: sin2 ', dostaneme ihned třetí

definiční podmínku, neboť

j sin 'j = sin ' pro 0  '  .