M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

Děkuji panu doc.Jiřímu Valovi za rady a podstatnou pomoc při přípravě to-

hoto textu a přeju všem, kteří budou vektorovou algebru a analytickou geometrii
studovat, pěkné příklady a úspěch u zkoušky.

Dr.Veronika Chrastinová

20.června 2004.

1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti

4

1

Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů
a jejich vlastnosti

Zatímco skalární součin

~a q~b = a1:b1 + a2:b2 + a3:b3 dvou vektorů z prostoru R3 je

reálné číslo (neboli „skalárÿ), vektorovým součinem vektorů

~a;~b 2 R bude opět

vektor; tento vektor označíme symbolem

~a~b. Jak navíc dále uvidíme, vektorový

součin

~a  ~b budeme na rozdíl od součinu skalárního počítat pouze pro vektory

~a = (a1; a2; a3); ~b = (b1; b2; b3) v prostoru R3. Zobecnění vektorového součinu pro

prostory vyšších dimenzí je sice možné, ale my se jím zde nebudeme zabývat.

Jak vypadá vektor

~a  ~b ? Mohli bychom si napsat přímo definiční vzorec

pro jeho souřadnice pro zadané vektory

~a;~b v prostoru R3, ale z tohoto vzorce

bychom nic zajímavého nepoznali. Začněme raději geometrickým významem

~a~b;

definujme jeho směr a velikost.

Směr vektoru

~a  ~b. Pokud vektory ~a;~b nejsou kolineární (neleží v jedné

přímce), pak určují rovinu. Definujme nyní vektor

~a  ~b jako vektor, který je k

této rovině kolmý – musíme však kromě jeho velikosti definovat také jeho orien-
taci, protože vektor normály roviny může mít dvojí orientaci

~n a také ~n. Nechť

vektorovým součinem

~a ~b je tedy vektor normály takový, že uspořádaná trojice

vektorů

~a;~b;~a ~b je tzv. pozitivně orientovaná. Jak již víme z předchozího učeb-

ního textu z kapitoly o orientovaných bázích, pozitivní (neboli kladnou) orientaci
vektorů

~a;~b;~a~b můžeme snadno popsat pomocí tzv. „pravidla pravé rukyÿ takto: