M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

Větu 1.1 bychom mohli také dokázat přímým výpočtem vektoru

~a ~b = (a1:~e1 + a2:~e2 + a3:~e3)  (b1:~e1 + b2:~e2 + b3:~e3) ;

k tomu bychom však potřebovali znalost tzv. smíšeného součinu vektorů a důkaz
by určitě nebyl kratší ani přehlednější.

V následujícím odstavci si podrobněji všimneme vlastností vektorového sou-

činu. Nejdříve pro speciálně zvolené vektory

~a;~b – vypočítáme si vektorové součiny

pro případ vektorů souřadnicových os

~e1 = (1; 0; 0); ~e2 = (0; 1; 0); ~e3 = (0; 0; 1).

Z definice vektorového součinu a také z jeho souřadnicového vyjádření snadno
vidíme, že platí

~e1  ~e2 = ~e3; ~e2  ~e1 = ~e3; ~e2  ~e3 = ~e1; ~e3  ~e2 = ~e1 ;

~e3  ~e1 = ~e2; ~e1  ~e3 = ~e2; ~e1  ~e1 = ~e2  ~e2 = ~e3  ~e3 = ~o :

Např. chceme-li „uhodnoutÿ z obrázku, jak vypadá vektor

~e1 ~e2, stačí si uvědo-

mit, že vektor

~e3 je skutečně kolmý k oběma vektorům ~e1;~e2, orientace ~e1  ~e2 =

+

~e3 plyne ihned z pravidla pravé ruky. Změníme-li pořadí vektorů ~e2~e1, vychází

užitím pravidla pravé ruky vektor opačný

~e2  ~e1 = ~e3 :

-

~e2

6

~e1 ~e2

~e1

-

~e2

6

~e3

~e2 ~e3

-

~e3 ~e1

6

~e3

~e1

Užitím souřadnicového vyjádření bychom mohli také počítat, např.

~e3  ~e1 = (0; 0; 1)  (1; 0; 0) =

0 1
0 0

 ;

0 1
1 0

 ;

0 0
1 0

!

= (0

; 1; 0) = ~e2 ;

~e2  ~e2 = (0; 1; 0)  (0; 1; 0) =

1 0
1 0

 ;

0 0
0 0

 ;

0 1
0 1

!

= (0

; 0; 0) = ~o :

Z výše uvedených vztahů pro počítání vektorového součinu vektorů

~e1;~e2;~e3 ihned

vidíme, že na rozdíl od skalárního součinu není vektorový součin komutativní. Pro
skalární součin obecně platí

~a q~b = ~b q~a, avšak vektorový součin mění při záměně