M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

~a  ~b = ~o, neboť sin ' = sin 0 = 0. Nulový vektor ~o dostaneme

také tehdy, je-li některý z vektorů

~a;~b nulový (nebo i pro ~a = ~b = ~o).

Nyní můžeme vše shrnout do následující definice.

Definice 1.1: Nechť

~a;~b jsou dané vektory, pak jejich vektorový součin

definujeme jako vektor

~a ~b, pro který platí:

1)

~a~b je kolmý k rovině určené vektory ~a;~b (a je tedy kolmý také ke každému

z vektorů

~a;~b),

2) uspořádaná trojice vektorů

~a;~b;~a ~b je pozitivně orientovaná,

3)

jj~a ~bjj = jj~ajj:jj~bjj: sin ', kde ' je úhel sevřený vektory ~a;~b.

Je-li některý z vektorů

~a;~b roven nulovému vektoru, definujeme ~a ~b = ~o.

Užitím vektorového součinu můžeme snadno najít vektor

~a~b kolmý k oběma

vektorům

~a;~b (tedy vektor normály roviny, která je jimi určena), dále obsah

rovnoběžníka

P = jj~a~bjj sestrojeného nad vektory ~a;~b, odtud také snadno obsah

trojúhelníka se stranami

~a;~b. Obsah tohoto trojúhelníka je totiž rovna polovině

obsahu rovnoběžníka

P=2 = jj~a~bjj=2, neboť každá z úhlopříček dělí rovnoběžník

1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti

6

na dva stejné trojúhelníky. V kapitole 5 budeme používat vektorový součin také k
výpočtu vzdáleností v prostoru

R3; např. vzdálenosti dvou mimoběžných přímek.

Vysvětlili jsme si geometrický význam vektorového součinu, ale ještě jsme

se ho nenaučili počítat: neznáme prozatím jeho souřadnicové vyjádření. Uveďme
nyní vzorce pro počítání souřadnic vektoru

~a ~b :

Věta 1.1: Nechť

~a = (a1; a2; a3); ~b = (b1; b2; b3) v kartézské souřadné soustavě

vektorů

~e1; ~e2; ~e3. Pak platí

~a ~b =

a2 a3

b2 b3

 :~e1

a1 a3

b1 b3

 :~e2

+

a1 a2

b1 b2

 :~e3 :

Podle uvedené věty lze tedy vektor

~a~b psát ve tvaru jednoduchého determinantu,