M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
b = ( 3; 9; 6) totiž platí ~b = 3:~a
(vektory
~a a ~b jsou kolineární), takže
~a ~b =
~e1 ~e2 ~e3
1
3
2
3
9
6
=
~e1 ~e2 ~e3
1
3
2
0
0
0
= 0
:
1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti
11
Příklad 1.2: Najděte jednotkový vektor
~
n0, který je kolmý k rovině prochá-
zející body
P = [1; 1; 0]; Q = [2; 1; 1]; R = [ 1; 1; 2].
Řešení: Vypočítejme si nejdříve dva vektory, které v dané rovině leží, např.
!
P Q = (2 1; 1 ( 1); 1 0) = (1; 2; 1),
!
P R = ( 1 1; 1 ( 1); 2 0) =
( 2
; 2; 2). Pak vektor ~n, který je kolmý k oběma vektorům
!
P Q ;
!
P R , je jejich
vektorovým součinem, tedy
~n =
!
P Q
!
P R =
~e1 ~e2 ~e3
1
2
1
2
2
2
=
2
1
2
2
:~e1
1
1
2
2
:~e2
+
1 2
2 2
:~e3
=
(4 ( 1)
:2):~e1 (2 ( 1):( 2)):~e2+(2 2:( 2)):~e3 = 6:~e1+0:~e2+6:~e3 = (6; 0; 6) :
Jednotkový vektor (vektor délky jedna) odtud snadno dostaneme, když vydělíme
vektor
~n jeho délkou
p
62 + 02 + 62 =
p
36 = 6
:
p
2. Odtud
~
n0 =
~n
jj~njj
=
(6
; 0; 6)
6
:
p
2
=
(1
; 0; 1)
p
2
= (
1
p
2
; 0;
1
p
2
) =
1
p
2
:~e1 +
1
p
2
:~e2 :
Protože orientace vektoru normály nebyla zadaná, dostáváme dvě řešení :
(
1
p
2
; 0;
1
p
2
)
; (
1
p
2
; 0;
1
p
2
)
:
Příklad 1.3: Určete obsah
P trojúhelníka ABC s vrcholy A = [3; 1; 4], B =
[0
; 2; 1] a C = [5; 0; 8].
Řešení: Obsah
P vypočítáme jako polovinu obsahu rovnoběžníku ABCD
určeného vektory
~a =
!
AB = ( 3; 1; 3) a ~b =
!
AC = (2; 1; 4) (zbývající
vrchol
D = [2; 1; 5] bychom snadno určili ze vztahu
!
AD = ~a +~b). Je tedy
P = j~a ~bj=2 = j(1; 6; 1)j=2 =
p
1 + 36 + 1
=2 =
p
38
=2 :
Příklad 1.4: Zjistěte velikost vektoru
~v = (3:~a
2
:~b) (~a
4
:~b), jestliže
k~ak = 1, k~bk = 3 a úhel ' sevřený vektory ~a a ~b je roven 5=6.