M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

Příklady pro samostatné studium:

Příklad 1.8: Vypočítejte obsah rovnoběžníka

ABCD, jestliže A = [4; 3; 6],

B = [0; 1; 0]; D = [ 2; 2; 2].

Výsledek: Obsah rovnoběžníka je roven 30.

Příklad 1.9: Určete jednotkový vektor kolmý k daným vektorům

~a = 2:~e1 ~e2 + ~e3,~b = ~e+2:~e2 ~e3.

Výsledek: Dostaneme dva vektory

1

35  (

1

; 3; 5); 1

35  (

1

; 3; 5).

Příklad 1.10: Vypočítejte obsah a velikost výšek rovnoběžníka sestrojeného

nad vektory

~a = 2:~e2 + ~e3, ~b = ~e1 + 2:~e3.

Výsledek:

P =

p

21,

v1 = v2 =

q

21

=5.

Příklad 1.11: Vypočítejte dvojný vektorový součin

~a  (~b  ~c), pro dané

vektory

a = 2:~e1; ~b = 3:~e2; ~c = ~e1 + ~e3.

Výsledek:

~a  (~b  ~c) = 6:~e2.

2

Smíšený součin vektorů a jeho vlastnosti

Jsou-li

~a = (a1; a2; a3), ~b = (b1; b2; b3) a ~c = (c1; c2; c3), vektory v R3, má reálné

číslo

~a q (~b  ~c) zcela určitý geometrický význam: absolutní hodnota tohoto čísla

je objemem

V rovnoběžnostěnu, jehož tři sousední hrany jsou určeny vektory ~a,

~b a ~c. Součin ~a q (~b  ~c) nazýváme smíšeným vektorovým součinem vektor˚u

~a;~b;~c; běžně pro něj budeme používat zkrácené označení [~a;~b;~c] = ~a q (~b  ~c).

V tomto definičním vzorci záleží na pořadí vektor˚

u: např. [

~a;~c;~b] = ~a q (~c ~b) =

~a q (~b ~c) = [~a;~b;~c], tedy při lichém počtu změn v pořadí vektor˚u změní jejich

smíšený součin znaménko. Vyjádříme-li vektory

~a;~b;~c v jednotlivých složkách

(čili v ortonormálních souřadnicích v

R3), dostaneme podle definice skalárního a

vektorového součinu jednoduchý vzorec pro výpočet smíšeného součinu

[

~a;~b;~c] =

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

:

2. Smíšený součin vektorů a jeho vlastnosti

16

Tento vzorec lze snadno ověřit na základě definice skalárního a vektorového sou-
činu: zřejmě platí