M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

pak se budeme zabývat jejich vzájemnými polohami, pr˚

uniky, vzdálenostmi a

dalšími vlastnostmi.

Při studiu geometrických objekt˚

u v

R3 (na rozdíl od formálních operací s vek-

tory) musíme vždy nejprve vymezit umístění geometrických objekt˚

u. Chceme-

li studovat rovnice roviny

, tj. jistého lineárního podprostoru R3 dimenze 2,

3. Rovnice roviny

19

zvolme pevně nějaký bod

P0 = [x0; y0; z0] roviny  a uvažujme nenulový vektor

~n = (a; b; c) kolmý k této rovině. Je-li P = [x; y; z] libovolný bod roviny  (obecně

r˚

uzný od pevně zvoleného bodu

P0), tvoří vektor ~n a vektor s počátečním bodem

P0 a koncovým bodem P vzájemně ortogonální dvojici vektor˚u (speciálně pro

P = P0 je druhý z těchto vektor˚u nulový). Platí tedy

~n q

!

P0P = 0

neboli (

a; b; c) q (x x0; y y0; z z0) = 0 : Tuto rovnost m˚užeme přepsat ve tvaru

a:(x x0) + b:(y y0) + c:(z z0) = 0 nebo také

a:x + b:y + c:z + d = 0 ; kde d = a:x0 b:y0 c:z0 :

Tento tvar nazýváme obecnou rovnicí roviny

, příslušný vektor ~n pak nazý-

váme normálovým vektorem roviny

.

y

z

x

@

@

@

@

@

pp

pp

pp

pp

pp

pp

p

P

pp

pp

}

P0

~n

Ukážeme si nyní, že libovolná rovnice zapsaná v tomto tvaru je za předpo-

kladu, že aspoň jedno z čísel

a; b; c 2 R je nenulové (což m˚užeme zapsat ve

formě podmínky

a2 + b2 + c2 6= 0 čili k(a; b; c)k 6= 0), vždy skutečně rovnicí ro-

viny v

R3. Vyberme libovolný pevný bod P0 = [x0; y0; z0], který splňuje rovnici

a:x0 + b:y0 + c:z0 + d = 0. Vzájemným odečtením rovnic a:x + b:y + c:z + d = 0
a

a:x0 +b:y0 +c:z0 +d = 0 ihned dostaneme a:(x x0)+b:(y y0)+c:(z z0) = 0.

Vidíme tedy, že (

a; b; c) q (x x0; y y0; z z0) = 0, což nás přivádí zpět k výchozí