M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

a; b; c) 6= (0; 0; 0) plněna, není použití kanonické rovnice

vhodné (lze jí přisoudit jen symbolický význam).

y

z

x

*

~r

P

~r0

P0

1

~s p p p p p p p p

p p

1

Příklad 4.1: Zapište parametrický a kanonický tvar rovnice přímky

p, která

prochází body

P = [1; 1; 2] a Q = [3; 4;  2], kde  je reálný parametr.

Řešení: Zřejmě je

~s =

!

P Q = (2; 3; ). Odtud snadno dostáváme parametrické

rovnice přímky

p

x = 1 + 2:t ; y = 1 + 3:t ; z = 2 + :t ; t 2 R :

i její kanonickou rovnici

x 1

2

=

y 1

3

=

z + 2

:

Pro

 = 0 ovšem druhá z rovnic

x 1

2

=

y 1

3

;

y 1

3

=

z + 2

4. Rovnice přímky

25

není formálně korektní; udává jen, že přímka

p je rovnoběžná se souřadnicovými

osami

x; y. Všimněme si také, že pro t = 0 dostáváme souřadnice bodu P a pro

t = 1 souřadnice bodu Q. Parametrické rovnice přímky p bychom mohli zapsat
např. i ve tvaru

x = 1 4:˜t; y = 1 6:˜t; z = 2 2::˜t; ˜t2 R ;

pak sice souřadnice bodu

P dostáváme pro ˜t = 0, ale souřadnice bodu Q pro

˜

t = 1=2.

Přímka

p bývá také v R3 často určena jako pr˚usečnice dvou r˚uznoběžných

rovin – k vzájemné poloze rovin se podrobněji vrátíme v následující části. Pa-
rametrickou rovnici přímky bychom v tomto případě mohli hledat jako společné
řešení obecných rovnic dvou rovin, závislé na jistém parametru

t 2 R, kratší však

bývá postup, který vyplývá z následující věty.

Věta 4.1: Necht’ jsou dány dvě r˚

uznoběžné roviny v prostoru

R3 – rovina

1 o obecné rovnici a1:x + b1:y + c1:z + d1 = 0 a rovina 2 o obecné rovnici

a2:x + b2:y + c2:z + d2 = 0; přitom a1; b1; c1; d1; a2; b2; c2; d2 2 R. Pak směrovým
vektorem přímky