M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
=2, zatímco úhel ' dvou vektor˚u (obvykle zjišt’ovaný z jejich
skalárního součinu) m˚
uže nabývat hodnot od 0 až do
(pro 1 cos ' 1).
Příklad 5.2: Přímka
p je zadána parametrickými rovnicemi
x = 1 3:t ; y = 1 2:t ; z = t ; t 2 R
a přímka
q parametrickými rovnicemi
x = 2:s ; y = 2 + 3:s ; z = :s ; s 2 R :
Najděte všechny takové hodnoty parametru
2 R, pro něž nejsou přímky p a q
mimoběžné, a určete v tomto případě úhel přímek
p a q.
Řešení: Společný bod přímek
p a q v R3 (existuje-li) musí splňovat podmínky
1
3
:t = 2:s ; 1 2:t = 2 + 3:s ; t = :s ;
které lze vyjádřit v maticovém tvaru
2
6
4
3
2
2
3
1
3
7
5
:
"
t
s
#
=
2
6
4
1
1
0
3
7
5
:
Gaussovou eliminací obdržíme
2
6
4
3
2
1
2
3
1
1
0
3
7
5
2
6
4
3
2
1
0
5
5
0 3
: + 2
1
3
7
5
2
6
4
3
2
1
0
1
1
0 3
: + 2
1
3
7
5
2
6
4
3
2
1
0
1
1
0 3
: + 3
0
3
7
5
:
Podle Frobeniovy věty je tato soustava řešitelná právě v případě
= 1: po-
stupně vychází
s = 1 a t = (1
2
:( 1))=3 = 1, takže přímky p a q jsou
r˚
uznoběžné a protínají se v jediném společném bodě
A = [ 2; 1; 1]. Nezávisle
na poloze bodu
A lze určit jejich úhel : pro úhel ' jejich směrových vektor˚u
( 3
; 2; 1) a (2; 3; 1) platí
cos
' =
( 3
; 2; 1) q (2; 3; 1)
p
9 + 4 + 1
:
p
9 + 4 + 1
=
6
6
1
14
=
13
=14 ;
5. Úlohy o rovinách a přímkách
30
což odpovídá úhlu
' > =2. Pro hledaný úhel tedy platí cos = 13=14 neboli
= arccos (13=14) 0; 380251.
c) Vzdálenost dvou rovnoběžných nebo mimoběžných přímek
Umíme-li vypočítat vzdálenost bodu od přímky, umíme také určit vzdálenost
dvou rovnoběžných přímek
p a q v R3: tato vzdálenost je rovna vzdálenosti libo-