M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

p = 1 \ 2 je vektor ~s = ~n1  ~n2, kde ~n1 = (a1; b1; c1) a

~n2 = (a2; b2; c2) jsou normálové vektory rovnic 1 a 2. Pro souřadnice vektoru

~s = (a; b; c) tedy platí

a =

b1 c1

b2 c2

 ;

b =

c1 a1

c2 a2

 ;

c =

a1 b1

a2 b2

 :

D˚

ukaz: Skutečnost, že

~n1 a ~n2 jsou normálovými vektory rovin 1 a 2, jsme

využili už při odvození obecné rovnice roviny. Protože roviny

1 a 2 nejsou rovno-

běžné, nemohou být vektory

~n1 a ~n2 ani kolineární. Jejich vektorovým součinem

~s je tedy nenulový vektor, který je kolmý na vektory ~n1 a ~n2, a leží tedy současně

v rovině

1 i v rovině 2. Závěrečný vzorec pak snadno vychází z výpočtu tohoto

vektorového součinu v jednotlivých souřadnicích.

Příklad 4.2: Najděte parametrické rovnice přímky

p, která je zadána jako

pr˚

usečnice dvou rovin

1 o obecné rovnici 3:x + y

2

:z

13 = 0 a

2 o obecné

rovnici

x + 2:y 2:z 11 = 0.

Řešení: Podle předcházející věty má směrový vektor

~s = (a; b; c) přímky p

složky

a =

1

2

2

2

=

2 + 4 = 2

; b =

2 3
2 1

=

2 + 6 = 4

;

c =

3 1
1 2

= 6

1 = 5

:

Roviny

1 a 2 protínají rovinu z = 0 (v deskriptivní geometrii „p˚udorysnuÿ)

postupně v přímkách 3

:x + y = 13, x + 2:y = 11. Vidíme, že tyto přímky se

5. Úlohy o rovinách a přímkách

26

protínají v bodě A=[3,4,0] – stačí vypočítat z dvojice lineárních algebraických
rovnic souřadnice

x a y. Parametrické rovnice přímky p, která nutně prochází

bodem

A, tedy mohou být např.

x = 3 + 2:t ; y = 4 + 4:t ; z = 5:t ; t 2 R :

I bez znalosti věty 4.1 m˚

užeme odvodit tytéž rovnice Jordanovou variantou Gaus-

sovy eliminace

"

3 1

2 13

1 2

2 11