M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

volného bodu na jedné z přímek, např. nějakého bodu

P na přímce p, od druhé

z přímek, zde tedy

q.

Příklad 5.3: Přímka

p je zadána parametrickými rovnicemi

x = 1 + 2:t ; y = 3:t ; z = 5 t ; t 2 R

a přímka

q parametrickými rovnicemi

x = 2 + 4:s ; y = 6:s ; z = 1 2:s ; s 2 R :

Ověřte, že přímky

p a q jsou rovnoběžné a zjistěte jejich vzdálenost d v R3.

Řešení: Přímka

p má směrový vektor ~u = (2; 3; 1), přímka q má smě-

rový vektor

~v = (4; 6; 2) = 2:~u, vektory ~u a ~v jsou tedy kolineární. Takže

obě přímky jsou bud’ totožné nebo rovnoběžné, vyjde-li jejich vzdálenost

d 6= 0,

jsou rovnoběžné. Na přímce

p zvolme (pro parametr t = 0) bod P = [1; 0; 5].

Rovina

 vedená bodem P kolmo k přímkám p i q má normálový vektor ~u,

tedy obecnou rovnici 2

:x + 3:y

z + d = 0 pro jisté d 2 R, tuto rovnici však

musí splňovat i souřadnice bodu

P , takže d = 2:1 3:0 + 5 = 3. Pr˚usečík Q

přímky

q s rovinou  je tedy určen hodnotou parametru s, která vyhovuje rovnici

2

:(2 + 4:s) + 3:6:s (1 2:s) + 3 = 0, z níž vychází 28:s = 6 neboli s = 3=14,

takže

Q = [8=7; 9=7; 10=7]. Jako vzdálenost bod˚u P a Q pak vychází

d =

q

(1

8

=7)2 + (9=7)2 + (5 10=7)2 =

p

12 + 92 + 252

=7 =

p

707

=7

=

p

7

:101=7 =

q

101

=7 :

Komplikovanější postup musíme použít, chceme-li vypočítat vzdálenost dvou

mimoběžných přímek

p, q. Necht’ tedy p \ q = ; jsou mimoběžné přímky, kde

přímka

p je zadána parametrickými rovnicemi

x = x1 + a1:t ; y = y1 + b1:t ; z = z1 + c1:t ; t 2 R

a přímka

q parametrickými rovnicemi

x = x2 + a2:s ; y = y2 + b2:s ; z = z2 + c2:s ; s 2 R;