M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

32

Celkově tedy dostáváme

d = V=A =

p

965.

Ke stejnému výsledku je možné dospět i složitějším konstruktivním postupem,

známým z deskriptivní geometrie, který nám připomíná obrázek. Proložíme-li
totiž bodem

P rovinu  obsahující přímku p a přímku ˜q rovnoběžnou s přímkou

q a označíme-li Q0 kolmý pr˚umět bodu Q do roviny , tj. pr˚usečík kolmice ˜r
spuštěné z bodu

Q do roviny  s touto rovinou, je délka d rovna vzdálenosti bodu

Q od bodu Q0. Vedeme-li navíc bodem Q0 v rovině  přímku q0 rovnoběžnou
s přímkou

q (tedy vlastně kolmý pr˚umět přímky q do roviny ), leží její pr˚usečík

P0 s přímkou p na zvláštní přímce r, tzv. ose mimoběžných přímek p a q. Tato osa
je nutně r˚

uznoběžná s přímkami

p i q a současně kolmá k oběma těmto přímkám,

přitom vzdálenost jejích pr˚

usečík˚

u s těmito přímkami je nejmenší možná a právě

rovna

d. Na stejném příkladu si však ukážeme ještě jiný, často kratší postup pro

určení uvedené osy.

p

q0

˜

q

q

r

˜

r

P

Q

P0

Q0

a

a

Příklad 5.5: Určete osu mimoběžných přímek

p a q z příkladu 5.4.

Řešení: I zde zachováme nezměněné označení z předchozí úvahy. Označíme-li

navíc

~n vektor normály k rovině , a tedy směrový vektor přímek ˜r a r, dostáváme

~n =

~e1 ~e2 ~e3

2

4

1

3

2

6

= (26

; 15; 8) :

Zvolme

P = [2; 1; 1] a Q = [ 31; 6; 3]. Protože rovina  musí obsahovat bod P ,

dostáváme

26

:(x 2) 15:(y 1) 8:(z + 1) = 0 ;

odtud již vychází obecná rovnice roviny

26

:x 15:y 8:z 45 = 0 :

Přímka ˜

r má parametrické rovnice

x = 31 + 26:˜h ; y = 6 15:˜h ; z = 3 8:˜h ; ˜h 2 R ;

5. Úlohy o rovinách a přímkách

33

její pr˚

usečík s rovinou