M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

rovině

, která je pro jednoduchost znázorněna v poloze kolmé na pr˚umětnu, a

P2 = p \ . Pro usnadnění výpočtu vzdálenosti P1 od roviny , tj. vzdálenosti 
bod˚

u

P1 a P2, odvodíme jednoduchý vzorec.

ppp

ppp

ppp

p

pp

pp

pp

pp

ppp

P1

P2

Máme určit vzdálenost bodu

P1 = [x1; y1; z1] od roviny  zadané obecnou

rovnicí

a:x+b:y+c:z+d = 0. Protože pr˚usečík P2 = [x2; y2; z2] přímky p s rovinou

 leží v rovině , musí platit a:x2 + b:y2 + c:z2 + d = 0. Označme ~n = (a; b; c)
normálový vektor roviny

 (a tedy směrový vektor přímky p). Dostáváme

ja:x1 + b:y1 + c:z1 + dj = ja:(x2 x1) + b:(y2 y1) + c:(z2 z1)j =

j~n q

!

P1P2 j = k~nk:k

!

P1P2 k = k~nk: =

p

a2 + b2 + c2: :

Odtud ihned plyne vzorec pro určení vzdálenosti bodu

P1 od roviny 

 =

ja:x1 + b:y1 + c:z1 + dj

p

a2 + b2 + c2

:

Délku normálového vektoru roviny

 m˚užeme volit libovolně, jen musí být různá

od nuly. V případě

k~nk = 1 se tento vzorec ještě zjednoduší na tvar

 = ja:x1 + b:y1 + c:z1 + dj :

Například pro vzdálenost libovolné roviny od počátku souřadnic potom dosta-
neme přímo

 = jdj.

Příklad 5.8: Najděte vzdálenost bodu

A = [0; 2; 1] od roviny , která vytíná

na souřadnicových osách

x; y; z úseky 3; 1; 4.

5. Úlohy o rovinách a přímkách

37

Řešení: Vyjdeme z úsekové rovnice roviny

x

3

+

y

1

+

z
4

= 1

;

která odpovídá obecné rovnici

4

:x 12:y + 3:z 12 = 0 :

Normálovým vektorem roviny

 je tedy např. vektor ~n = (4; 12; 3) o délce k~nk =

p

42 + 122 + 32 =

p

169 = 13, dostáváme tedy

 = j4:0 12:2 + 3:1 12j=13 = 33=13 :

e) Vzájemná poloha a úhel dvou rovin

O dvou rovinách v

R3 říkáme, že jsou

i) totožné, právě když mají společné všechny body,