M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

užeme zavést jako množinu všech přímek, které procházejí zadaným bodem

v

R3 – typickým příkladem jsou souřadnicové osy x, y a z.

Příklad 5.13: Zapište rovnici libovolné roviny svazku rovin určeného rovi-

nami

1 a 2 z příkladu 5.9 a s její pomocí navrhněte jiný postup řešení tohoto

příkladu.

Řešení: Rovnice libovolné roviny svazku určeného rovinami

1 a 2 je

1:(x 3:y + z 2) + 2:(x y z) = 0

pro reálné parametry

1 a 2. (Parametrické rovnice osy svazku zde hledat ne-

musíme.) Rovina

3 patří tomuto svazku, právě když

1:(x 3:y + z 2) + 2:(x y z) = x 4:y + 2:z + 

pro jisté hodnoty

1; 2 2 R. Úpravou této podmínky dostáváme

(

1 + 2):x + ( 3:1 2):y + (1 2):z 2:1 = x 4:y + 2:z +  :

Je tedy třeba vyřešit soustavu 4 rovnic pro 3 neznámé

1; 2;  tvaru

1 + 2 = 1 ;

3

:1 2 = 4 ; 1 2 = 2; ;

2

:1 =  :

Vyřešíme-li nejdříve např. soustavu obsahující první, třetí a čtvrtou z těchto rov-
nic, snadno dostaneme

1 = 3=2, 2 = 1=2 a  = 3, druhá rovnice je potom

splněna automaticky.

5. Úlohy o rovinách a přímkách

43

Příklad 5.14: Rovina

1 je dána obecnou rovnicí 4:x + y + z 2 = 0, rovina

2 obecnou rovnicí x + 3:z

4 = 0. Najděte rovinu

, která prochází pr˚usečnicí

rovin

1 a 2 a vytíná na souřadnicových osách x; y stejné úseky.

Řešení: Úseková rovnice roviny

 je

x

+

y

+

z

= 1

;

kde

; ;  2 R jsou postupně úseky vyt’até rovinou  na souřadnicových osách

x; y; z Rovina  patří svazku určenému rovinami 1 a 2, a tedy

1  (4:x + y + z 2) + 2  (x + 3z 4) =

x

+

y

+

z

1

pro nějaká

1; 2 2 R. Odtud dostáváme

(4

:1 + 2):x + 1:y + (1 + 3:2):z 2:1 4:2 =