M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

vektor roviny

 použít vektor (4; 3; 1). Tento vektor je skutečně kolmý k přímce

p (k jejímu směrovému vektoru ~m) a také k rovině  (nebot’ je kolmý k jejímu nor-
málovému vektoru

~n). Celkem má rovina  obecnou rovnici 4:x 3:y + z + d = 0,

kde

d určíme dosazením libovolného bodu P 2 p, např. P = [ 3=13; 17=13; 0]

(pro volbu

z = 0). Vyjde d = 3, takže výsledným pr˚umětem p0 =  \  přímky

p do roviny  je přímka určená jako pr˚usečnice dvou rovin

4

:x 3:y + z 3 = 0 ; 2:x + 3:y + z 6 = 0 :

Chceme-li znát parametrické rovnice přímky

p0 stačí vypočítat její směrový vektor

(4

; 3; 1)  (2; 3; 1) = ( 6; 2; 18) nebo také (3; 1; 9) a najít libovolný bod

Q 2 p0, např. Q = [ 3=2; 0; 9]. Parametrické rovnice přímky p0 potom jsou

x = 3=2 + 3:t ; y = t ; z = 9 9:t ; t 2 R :

K určení roviny

 m˚užeme také využít svazek rovin: podmínka p   totiž

znamená, že rovina

 má obecnou rovnici

:(x 4:y + 2:z 5) + :(3:x + y z + 2) = 0 ;

kde

;  2 R musíme vybrat tak, aby rovina  byla kolmá na rovinu . Přepišme

tuto rovnici do tvaru

(

 + 3:):x + ( 4: + ):y + (2: ):z + ( 5: + 2:) = 0

a vidíme, že normálový vektor roviny

 je ~m = ( + 3:; 4: + ; 2:

),

přitom z kolmosti rovin

 a  plyne

0 =

~n q ~m = (2; 3; 1) q ( + 3:; 4: + ; 2: ) = 8: + 8: :

Tato podmínka dává jedinou rovnici

 = 0 pro dva parametry ;  2 R,

m˚

užeme tedy zvolit např.

 =  = 1. Odtud dostaneme obecnou rovnici roviny

 ve tvaru

(1 + 3)

:x + ( 4 + 1):y + (2 1):z + ( 5 + 2) = 0