M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

výsledná obecná rovnice roviny

 je 4:x + 2:y z 6 = 0. Pr˚umětem P0 = q \ 

je bod přímky

p, který odpovídá parametru t z podmínky 4:(2 + 4:t) + 2:(2:t)

(5

t) 6 = 0, tedy t = 1=7. Souřadnice bodu P0 jsou pak x = 2 + 4=7 = 18=7,

y = 2=7, z = 5 1=7 = 34=7, což m˚užeme zapsat ve tvaru P0 = [18=7; 2=7; 34=7].

Příklad 5.18: Najděte pr˚

umět

P0 bodu P = [1; 0; 6] do roviny , která je

zadána obecnou rovnicí 2

:x y + 3:z + 2 = 0.

Řešení: Protože (2

; 1; 3) je normálový vektor roviny , má přímka q kolmá

k rovině

 parametrické rovnice

x = 1 + 2t y = t ; z = 6 + 3t t 2 R :

Dosadíme-li tyto parametrické rovnice přímky

q do obecné rovnice roviny , do-

staneme 2

:(1+2:t) ( t)+3:( 6+3:t)+2 = 0, tedy t = 1. Pro pr˚umět P0 = q\

pak dostáváme

P0 = [3; 1; 3].

5. Úlohy o rovinách a přímkách

46

Příklad 5.19: Najděte pr˚

umět

p0 přímky p, která je zadána jako pr˚usečnice

2 rovin

x 4:y + 2:z 5 = 0 ; 3:x + y z + 2 = 0 ;

do roviny

, která je zadána obecnou rovnicí 2:x + 3:y + z 6 = 0. Úlohu nejprve

vyřešte bez použití svazku rovin, pak s použitím svazku rovin.

Řešení: Bez použití svazku rovin m˚

užeme např. najít pr˚

umět

p0 jako pr˚usečnici

rovin

 a , kde  je rovina procházející přímkou p a kolmá k rovině . Označme

~n normálový vektor roviny , ~s normálový vektor roviny , a ~m směrový vek-

tor přímky

p. Zřejmě je ~n = (2; 3; 1), ~m = (1; 4; 2)  (3; 1; 1) = (2; 7; 13) a

~s = ~m  ~n = (2; 7; 13)  (2; 3; 1) = ( 32; 24; 8). Můžeme tedy jako normálový