M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

Poslední rovnice dává po roznásobení 13

: + 39: = 0, tj.  + 3 = 0, takže

např. volbou

 = 3 a  = 1 dostaneme obecnou rovnici roviny 2 ve výsledném

tvaru

x 2:y 5:z + 3 = 0.

Příklad 5.16: Rovina

1 je dána obecnou rovnicí x+2:y 3:z 6 = 0, rovina

2 obecnou rovnicí 2:y + 5:z 4 = 0, rovinami 1 a 2 je tedy určen svazek rovin

S. Přímka p je dána jako pr˚usečnice 2 rovin rovnicemi

x + 2:y = 0 3:x + z + 1 = 0 :

Najděte rovinu

 2 S, která je rovnoběžná s přímkou p.

Řešení: Směrový vektor přímky

p je ~s = (1; 2; 0)  (3; 0; 1) = (2; 1; 6).

Každá rovina svazku

S, tedy i rovina , má obecnou rovnici

:(x + 2:y 3:z 6) + :(2:y + 5:z 4) = 0

pro jistá

;  2 R. Má-li být rovina  rovnoběžná s přímkou p, musí být její

normálový vektor

~n kolmý k vektoru ~s neboli

0 =

~n q ~s = (; 2: + 2:; 3: + 5:) q (2; 1; 6) = 18 32

což platí např. pro volbu

 = 16 a  = 9. Po dosazení parametr˚u  a  dostáváme

obecnou rovnici roviny

 ve výsledném tvaru 16:x + 50:y 3:z 132 = 0.

h) Pr˚

umět bodu na přímku a do roviny, pr˚

umět přímky do roviny

Čím více typ˚

u úloh postupně probíráme, tím více se nám jednotlivé postupy

už začínají v nepodstatných obměnách opakovat. Tak např. příklad s pr˚

umětem

bodu do roviny jsme již počítali, když jsme se zabývali vzdáleností bodu od roviny,
ale i při vyšetřování polohy osy dvou mimoběžných přímek (příklad 5.5). Jedna
z prvních věcí, kterou musíme znát v deskriptivní geometrii u každé promítací
metody ovšem je, jak se promítá bod na přímku a do roviny, případně přímka do
roviny. Proto bude užitečné krátké shrnutí, jak lze souřadnice pr˚