M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

ii) přímka je s rovinou r˚

uznoběžná, právě když jejich pr˚

unik obsahuje jediný

bod,

iii) přímka je s rovinou rovnoběžná, právě když jejich pr˚

unik je prázdný.

V případě ii) má smysl určovat (nenulový) úhel přímky s rovinou, v případě iii)
(nenulovou) vzdálenost přímky od roviny.

Pr˚

unik přímky s rovinou jsme už několikrát počítali (např. v příkladu 5.3) –

známe-li obecnou rovnici roviny a parametrické rovnice přímky, stačí dosazením
parametrických rovnic přímky do obecné rovnice roviny zjistit hodnotu parame-
tru, který odpovídá poloze hledaného pr˚

usečíku. Také určení úhlu

', který svírá

přímka s rovinou, dokážeme jednoduchým obratem převést na již známou úlohu
hledání úhlu dvou přímek. Stačí si totiž uvědomit, že úhel

=2 ' musí svírat

přímka s jakoukoli normálovou přímkou roviny.

Označíme-li směrový vektor přímky

~u a normálový vektor roviny ~n, m˚užeme

úhel

' také určit přímo užitím vztahu

sin

' =

j~u q ~nj

k~uk:k~nk

:

Pro úhel

  vektor˚u ~u a ~n totiž platí

cos

  =

~u q ~n

k~uk:k~nk

a přitom

j cos  j = j cos(=2  ')j = j sin 'j. Absolutní hodnota j~u q ~nj v čitateli

přitom zaručuje, že pro výsledný úhel

' je 0  '  =2.

Příklad 5.11: Zjistěte, zda pro některou hodnotu parametru

 2 R svírá

přímka

p zadaná (jako pr˚usečnice dvou rovin) rovnicemi x

y + :z = 0 a

5. Úlohy o rovinách a přímkách

40

x

2

:y

z + 1 = 0 úhel =6 s rovinou , která je zadaná obecnou rovnicí

x + y + z = 0.

Řešení: Směrový vektor přímky

p je tvaru

~u =

~e1 ~e2 ~e3

1

1

1

2

1

= (1 + 2

:; 1 + ; 1) ;

přitom rovina

 má (nezávisle na volbě parametru ) normálový vektor ~n =

(1

; 1; 1), takže ~u q ~n = 1 + 2: + 1 +  1 = 1 + 3:.