M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

(Příčku

r bychom také mohli hledat jako průsečnici dvou různoběžných rovin

r =  \ , kde p  ; M 2 ; q  ; M 2 .)

Příklad 5.7: Najděte příčku

r mimoběžek p; q, která je rovnoběžná s vekto-

rem

~w = (1; 2; 3), jsou-li přímky p; q zadány parametricky

p : x = 1 + s ; y = 1 + s ; z = 5 + 2:s ; s 2 R ;

q : x = 1 + t ; y = 2 + 3:t ; z = 3 t ; t 2 R :

Řešení: Mimoběžnost přímek

p; q už ověřovat nebudeme, příčku r najdeme

opět z podmínky kolinearity vektorů

~w;

!

˜

P ˜

Q , kde ˜

P = [ 1+s; 1+s; 5+2:s] 2 p,

˜

Q = [1 + t; 2 + 3:t; 3 t] 2 q jsou prozatím neznámé body průsečíků příčky r s
mimoběžkami

p; q. Podmínka

!

˜

P ˜

Q = k:~w

je přitom tvaru

(2 +

t s; 3 + 3:t s; 8 t 2:s) = k:(1; 2; 3) ;

neboli 2 +

t s = k ; 3 + 3:t s = 2:k ; 8 t 2:s = 3:k.

Dostaneme jediné řešení

k = 1; s = 2; t = 1 a odtud body průsečíků ˜

P = [1; 3; 1]

(pro

s = 2), ˜

Q = [2; 1; 2] (pro t = 1). Tedy hledaná příčka r je např. tvaru

r : x = 1 + m ; y = 3 2:m ; z = 1 + 3:m ; m 2 R :

5. Úlohy o rovinách a přímkách

36

(Také v tomto případě bychom mohli příčku

r najít jako průsečnici dvou rovin,

r =  \ , kde p  , ~w k , q  , ~w k .)

d) Vzdálenost bodu od roviny

Abychom se vysvětlili, jak se určuje vzdálenost bodu

P1, který neleží v rovině

, od této roviny, m˚užeme použít téměř stejný obrázek jako při obdobné úvaze
o vzdálenosti bodu od přímky. Pouze přímka

p na obrázku je kolmice k zadané