M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

 musí odpovídat parametru ˜h vyhovujícímu podmínce

26

:( 31 + 26:˜h) 15:(6 15:˜h) 8:(3 8:˜h) 45 = 0 ;

odtud po úpravě dostaneme (262 + 152 + 82)

:˜h = 965 a tedy ˜h = 1, celkem

Q0 = [ 5; 9; 5]. Nyní bychom už mohli snadno určit vzdálenost bod˚u Q; Q0

d =

q

( 31 + 5)2 + (6 + 9)2 + (3 + 5)2 =

p

965

(vyšla stejně, jako jiným postupem v předchozím příkladě). Přímka

q0 má para-

metrické rovnice

x = 5 + 3:s ; y = 9 + 2:s ; z = 5 + 6:s ; s 2 R ;

její pr˚

usečík s přímkou

p pak m˚užeme najít pomocí soustavy tří lineárních alge-

braických rovnic o dvou neznámých parametrech

t a s

2 + 2

:t = 5 + 3:s; 1 + 4:t = 9 + 2:s; 1 t = 5 + 6:s

neboli v maticovém tvaru

2
6

4

2

3

4

2

1

6

3
7

5

:

"

t

s

#

=

2
6

4

7

10

4

3
7

5

;

která má jediné řešení

t = 2 a s = 1. Máme tak P0 = [ 2; 7; 1], tedy hledaná

osa

r má parametrické rovnice

x = 2 + 26:h ; y = 7 15:h ; z = 1 8:h ; h 2 R :

Na závěr si ukážeme ještě jiný zp˚

usob řešení úlohy hledání vzdálenosti a osy

mimoběžek. Zvolme libovolné body ˜

P = [2 + 2:t; 1 + 4:t; 1 t] 2 p pro t 2 R

a ˜

Q = [ 31 + 3:s; 6 + 2:s; 3 + 6:s] 2 q pro s 2 R. Směrový vektor ~v = ( 2:t +

3

:s 33; 4:t + 2:s + 5; t + 6:s + 4) spojnice bodů ˜

P ; ˜

Q je rovnoběžný s vektorem

~u = (2; 4; 1)  (3; 2; 6) = (26; 15; 8), a tedy ~v = :~u, kde  2 R. Ze soustavy
3 rovnic pro 3 neznámé

2

:t + 3:s 33 = 26: ;

4

:t + 2:s + 5 = 15: ; t + 6:s + 4 = 8:

snadno vypočítáme

 = 1, s = 1 a t = 2. Dostáváme tak body ˜