M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

u

~n1 a ~n2 :

1

HH

HH

HH

HH

HH2

~n2

A

A

A

A

AK

~n1

'

'

Příklad 5.9: Rovina

1 je dána obecnou rovnicí

p

2

:x+y z 10 = 0, rovina

2 obecnou rovnicí

p

2

:x y z = 0. Určete úhel, který svírají roviny 1 a 2.

Řešení: Rovina

1 má normálový vektor ~n1 = (

p

2

; 1; 1), rovina 2 má nor-

málový vektor

~n2 = (

p

2

; 1; 1). Tyto vektory svírají úhel ', pro který platí

cos

' =

p

2

:

p

2 + 1

:( 1) + ( 1):( 1)

p

2 + 1 + 1

p

2 + 1 + 1

=

1

2

;

je tedy

' = arccos(1=2) = =3. Protože ' < =2, je ' přímo hledaným úhlem,

který svírají roviny

1 a 2.

Příklad 5.10: Rovina

1 je dána obecnou rovnicí 2:x + 7:y + :z

10 = 0,

rovina

2 obecnou rovnicí :x 14:y + 5:z 2 = 0. Pro jaké hodnoty parametr˚u

;  2 R jsou roviny 1 a 2 vzájemně kolmé a pro jaké hodnoty rovnoběžné?

Řešení: Normálový vektor roviny

1 je ~n1 = (2; 7; ), normálový vektor roviny

2 je ~n2 = (; 14; 5). Zřejmě je

~n1 q ~n2 = 2: 7:14 + :5 = 5: + 2: 98 :

Roviny

1 a 2 budou kolmé, právě když tento skalární součin bude roven nule.

K tomu m˚

užeme zvolit jakékoli reálné

 a dostaneme  = (98 2:)=5. Roviny

5. Úlohy o rovinách a přímkách

39

1 a 2 budou rovnoběžné (podle předchozí věty), právě když matice

M =

"

2

7

14

5

#

; N =

"

2

7

10

14

5

2

#

mají hodnosti

h(M) = 1 a h(N) = 2. Porovnáním druhého a čtvrtého sloupce

matice

N vidíme, že h(N) = 2 platí vždy (nezávisle na výběru  a  – roviny

1 a 2 tedy nemohou být totožné). Pro splnění h(M) = 1 musí být  = 2:2 a
5 =

2

: čili  = 5=2 a  = 4.

f ) Vzájemná poloha a úhel přímky a roviny

O přímce a rovině v

R3 říkáme, že

i) přímka leží v rovině, právě když všechny body přímky patří do roviny,