M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

19

=50, y = 2 + (4:23)=50 = 8=50, z = 1 + (5:23)=50 = 165=50. Vzdálenost d

bodu

A od přímky p lze pak už snadno vypočítat jako vzdálenost bod˚u A a B

d =

q

(19

=50 2)2 + ( 8=50 + 1)2 + (165=50 3)2 = 3:

p

38

=10 :

b) Vzájemná poloha a úhel dvou přímek

O dvou přímkách v

R3 říkáme, že jsou

i) totožné, právě když mají společné všechny body,

ii) r˚

uznoběžné, právě když mají společný jediný bod (tzv. pr˚

usečík),

iii) rovnoběžné, právě když nemají společný žádný bod a jejich směrové vek-

tory jsou kolineární (v deskriptivní geometrii se v tomto případě hovoří
o společném nevlastním bodu, který však nepatří do

R3),

iv) mimoběžné, právě když nemají společný žádný bod a jejich směrové vektory

nejsou kolineární.

Jiný počet společných bod˚

u není možný: hledáme-li totiž společné body přímky

p popsané parametrickými rovnicemi

x = x1 + a1:t ; y = y1 + b1:t ; z = z1 + c1:t; t 2 R

a přímky

q popsané parametrickými rovnicemi

x = x2 + a2:s ; y = y2 + b2:s ; z = z2 + c2:s ; s 2 R ;

kde

x1; y1; z1, x2; y2; z2, a1; b1; c1 a a2; b2; c2 jsou zadané trojice reálných čísel,

dostáváme pro neznámé parametry

t a s soustavu tří lineárních algebraických

rovnic

2
6

4

a1

a2

b1

b2

c1

c2

3
7

5

:

"

t

s

#

=

2
6

4

x2 x1

y2 y1

y2 y1

3
7

5

;

5. Úlohy o rovinách a přímkách

29

jejíž počet řešení určuje Frobeniova věta. V případech iii) a iv) má smysl zjišt’ovat
také vzdálenost přímek – této úloze se ještě budeme věnovat samostatně.

Úhel dvou přímek snadno určíme z úhlu jejich směrových vektor˚

u. Je však

třeba si uvědomit, že přímky nejsou orientované a jejich úhel m˚

uže být pouze

číslo mezi 0 a