M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

a = 2, b = 1 a c = 2. Reálný parametr d jsme tímto

postupem neurčili, víme však, že rovnici

a:x + b:y + c:z + d = 0 musí vyhovovat

např. souřadnice bodu

A, tj. 2:4 4 2:4 + d = 0, takže d = 4.

Protože víme, že všechny tři body

A; B; C leží v rovině , mohli bychom dokonce

přímo i bez znalosti vektorového nebo smíšeného násobení vektor˚

u v

R3 sestavit

a např. Gaussovou eliminací řešit soustavu 3 lineárních algebraických rovnic pro
4 neznámé

a; b; c; d; tento postup by však byl pracnější než oba předešlé.

Příklady pro samostatné studium:

Příklad 3.2: Určete a) parametrický b) obecný c) úsekový tvar rovnice roviny

, jestliže rovina  prochází body A = [2; 3; 1]; B = [3; 1; 4]; C = [2; 1; 5].

Výsledek: Parametrický tvar roviny

 : x = 2 + s; y = 3 2:s + t; z = 1 + 3:s 2:t ;

obecný tvar

 : x + 2:y + z 9 = 0, úsekový tvar

x

9

+

y

9

=2

+

z
9

= 1

:

Příklad 3.3: Určete rovnici roviny

, která

a) je rovnobežná se souřadnou rovinou

xz a prochází bodem A = [2; 5; 3]

b) prochází osou

z a bodem A = [ 3; 1; 2]

c) je rovnoběžná s osou

x a prochází body B = [4; 0; 2]; C = [5; 1; 7].

Výsledek: a)

 : y + 5 = 0 b)  : x + 3:y = 0 c)  : 9:y z 2 = 0.

4

Rovnice přímky

Víme už, že máme-li zadán nějaký pevný bod, m˚

užeme v prostoru

R3 přisoudit

každému lineárnímu podprostoru dimenze 2 geometrický význam roviny. Jak brzy
uvidíme, m˚

užeme obdobně přisoudit každému lineárnímu podprostoru dimenze

1 geometrický význam přímky. Z dřívějšího středoškolského studia matematiky
také víme, že (použijeme-li už zavedenou terminologii) v prostoru