M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

 tedy dostaneme

 = V=P =

41

=6

p

1457

=2

=

41

3

:

p

1457

:

Vzdálenost

 bychom mohli vyčíslit také ze vzorce pro vzdálenost bodu D od

roviny zadané body

A, B a C; tomuto postupu se budeme věnovat podrobněji,

až se budeme v rámci analytické geometrie zabývat vzdálenostmi v

R3.

Příklady pro samostatné studium:

Příklad 2.3: Zjistěte, pro kterou hodnotu reálného parametru

 2 R vlast-

nosti 0

   4 má čtyřstěn o vrcholech A = [0; 0; 0], B = [; ; ], C = [; 2; 0]

a

D = [ 1; 0; 1] maximální objem a pro kterou degeneruje v trojúhelník.

Výsledek: Objem zadaného čtyřstěnu je

:(4 )=6; maximální (rovný 4) je

pro

 = 2, minimální (nulový) pro  = 0 nebo  = 4.

Příklad 2.4: Jsou dány body

A = [1; 2; 3]; B = [0; 7; 1]; C = [4; 5; 9]:

Najděte bod

D tak, aby ležel na ose x a rovnoběžnostěn určený body ABCD měl

objem 48.

Výsledek: Úloha má dvě řešení

D1 = [ 7=2; 0; 0]; D2 = [5=2; 0; 0].

Příklad 2.5: Dokažte, že dané body

A = [1; 2; 1]; B = [0; 1; 5]; C = [ 1; 2; 1],

D = [2; 1; 3] leží v jedné rovině, ale neleží na jedné přímce.

Příklad 2.6: Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu sestrojeného nad vektory

~a = 3:~e1 + 2:~e2; ~b = 2:~e1 + 3:~e2; ~c = ~e1 + 2:~e2 + 3:~e3, obsah stěny sestrojené nad

vektory

~a;~b a velikost výšky na tuto stěnu.

Výsledek:

V = 15; P = 5, výška v = 3.

3

Rovnice roviny

V řadě příklad˚

u jsme poukázali na geometrickou interpretaci vektor˚

u v

R3 a ope-

rací s nimi. Ve zbytku tohoto učebního textu uplatníme v jistém smyslu obrácený
přístup – jednotlivé geometrické objekty v

R3 budeme studovat s využitím zna-

lostí vektor˚

u v

R3. Nejprve se seznámíme s možnými tvary rovnic rovin a přímek,