M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

Vektor

~v je skutečně lineární kombinací vektor˚u~b a ~c: ~v = 8:~b 19:~c. Dále je

~a q ~v = (1; 2; 4) q ( 40; 106; 43) = 40 + 212 172 = 0 ;

(~

b  ~c) q ~v = ( 19; 5; 30) q ( 40; 106; 43) = 760 + 530 1290 = 0 ;

tedy vektor

~v je kolmý k oběma vektor˚um ~a a ~b  ~c. Vektor ~v bychom mohli

určit i bez skalárního násobení: pracnějším postupem (který vyžaduje výpočet 2
determinant˚

u třetího řádu) bychom postupně dospěli ke stejnému výsledku

~v = (1; 2; 4)  ((5; 1; 3)  (0; 6; 1)) =

(1

; 2; 4)  ( 19; 5; 30) = ( 40; 106; 43) :

Dvojný vektorový součin má ještě jednu zajímavou geometrickou vlastnost:

lze jej využít k rozkladu zadaného vektoru do dvou složek, z nichž jedna má
zadaný směr a druhá je na tento směr kolmá (geometricky tedy jde o kolmý
pr˚

umět vektoru do roviny a do její normály).

Příklad 1.7: Rozložte v

R3 vektor ~v = (1; 2; 3) do směru vektoru ~a =

(2

; 1; 1) a do směru vektoru ~d kolmého na ~a.

Řešení: Vektor ~

d musí být kolmý na ~a i na ~v  ~a, takže

~d = ~a  (~v  ~a) = ~v:(~a q~a) ~a:(~a q~v) = k~ak2:~v (~a q~v):~a =

6

:~v 3:~a = (0; 15; 15) :

Odtud

~v = 1

6 

~d+ 1

2  ~

a = 1

6  (0; 15; 15) +

1
2  (2;

1

; 1).

2. Smíšený součin vektorů a jeho vlastnosti

15

Skalární a vektorový součin se často objevují ve fyzikálních a obecně technic-

kých úlohách; tak např. práci síly na nějaké dráze lze interpretovat jako skalární
součin, zatímco při výpočtu otáčivého momentu se neobejdeme bez vektorového
součinu. Barevné tečky na zapnutém televizoru se pohybují podle zákon˚

u elek-

tromagnetismu, které využívají jak skalární, tak vektorový součin: ve dvou ze
čtveřice slavných Maxwellových rovnic najdeme skalární součin, ve dvou součin
vektorový.