M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

rovnici

~n q

!

P0P = 0 pro ~n = (a; b; c) a

!

P0P = (x x0; y y0; z z0) ;

jde tedy vždy o rovnici roviny v

R3.

Rovinu

, jež prochází bodem P0 kolmo k vektoru ~n = (a; b; c), m˚užeme určit

také vektorovou rovnicí roviny

~n q (~r ~r0) = 0 ;

3. Rovnice roviny

20

v němž

~r = (x; y; z) m˚užeme interpretovat jako polohový vektor obecného bodu

P a ~r0 = (x0; y0; z0) jako polohový vektor pevně zvoleného bodu P0 2  (viz
obrázek). Vektor

~n není ovšem určen jednoznačně: rovnice

~m q (~r ~r0) = 0 ;

v níž

~m = k:~n pro jakékoli nenulové reálné číslo k, je také vektorovou rovnicí

téže roviny

 a obdobně rovnice

(

k:a):x + (k:b):y + (k:c):z + (k:d) = 0

je rovněž obecnou rovnicí roviny

. V praxi někdy pracujeme jen s jednotkovým

normálovým vektorem

~n – i jeho výběr je však dvojznačný, zpravidla však není

d˚

uležité, které orientaci vektoru

~n bychom měli dávat přednost.

Je-li

d = 0, protíná rovina  všechny souřadnicové osy v počátku souřadnic,

případně m˚

uže jednu i dvě ze souřadnicových os obsahovat. Ve všech ostatních

případech lze obecnou rovnici roviny

 dělit číslem d; dostáváme tedy

(

a=d):x (b=d):y (c=d):z = 1 :

Z této rovnice již dokážeme snadno určit, jaké úseky vytíná rovina

 na souřadni-

cových osách: např. položíme-li

y = z = 0 (tj. zabýváme se pouze body na ose x),

obdržíme

(

a=d):x = 1, tedy pokud a 6= 0 ihned x = d=a, což je hledaný úsek

na ose

x. Za předpokladu a = 0 dostaneme neřešitelnou rovnici 0:x = 1, která

říká, že rovina nemá s osou

x žádný reálný pr˚usečík, a je s ní tedy rovnoběžná.

Za dodatečných předpoklad˚

u

a 6= 0, b 6= 0 a c 6= 0 jsme tedy schopni určit čísla