M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

 = d=a,  = d=b a  = d=c, která udávají úseky vyt’até rovinou  na osách

x; y; z. Dostáváme tak úsekovou rovnici roviny 

x

+

y

+

z

= 1

:

Levá část obrázku ukazuje polohu roviny

 v˚uči osám souřadnic: viditelné jsou

stopy roviny na souřadnicových rovinách (v deskriptivní geometrii „pr˚

umětnáchÿ)

a část roviny v prvním oktantu v případě

a 6= 0, b 6= 0 a c 6= 0, pravá část obrázku

názorně ukazuje, co se změní v případě

a 6= 0, b = 0 a c 6= 0. Vrátíme-li se ještě

k předchozímu obrázku (s jehož pomocí jsme odvozovali rovnice roviny), vidíme,
že zde bylo

a 6= 0, b 6= 0 a c 6= 0; pr˚unik roviny  s osou x ovšem nebyl viditelný,

protože úsek

 vyšel záporný.

3. Rovnice roviny

21

y

z

x

@

@

@

@

@

y

z

x

Představme si nyní, že na obrázku, na němž jsme ukázali odvození obecné

rovnice roviny

, jsme do bodu P0 umístili takovou dvojici nekolineárních vektor˚u

~u = (u1; u2; u3) a ~v = (v1; v2; v3) z R3, která leží v rovině . Protože vektory ~r ~r0,

~u a ~v jsou komplanární, můžeme každý vektor ~r, jenž má počáteční bod P0 2 
a koncový bod v rovině

 (tedy i vektor s koncovým bodem P ), zapsat ve tvaru

~r = ~r0 + s:~u + t:~v ;

kde

s a t jsou reálné parametry. Rozepíšeme-li tuto vektorovou rovnici do složek,

dostaneme parametrickou rovnici roviny

x = x0 + s:u1 + t:v1 ;

y = y0 + s:u2 + t:v2 ;
z = z0 + s:u3 + t:v3 :

Je-li rovina určena bodem

P0 = [x0; y0; z0] a dvěma nekolineárními vektory

~u = (u1; u2; u3) a ~v = (v1; v2; v3), snadno získáme její obecnou rovnici z podmínky
komplanárnosti vektor˚

u

~u, ~v a vektoru s počátečním bodem P0 a koncovým bo-