M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

#

"

3 1

2 13

0 5

4 20

#

"

15 0

6 45

0 5

4 20

#

"

5 0

2 15

0 5

4 20

#

:

Abychom dostali výsledek ve stejném tvaru, zvolíme nyní opět

z = 5:t pro reálný

parametr

t, tedy hodnost matice soustavy i matice rozšířené je 2. Dostáváme

x = (15 + 2:5:t)=5 = 3 + 2:t a y = (20 + 4:5:t)=5 = 4 + 4:t.

Příklady pro samostatné studium:

Příklad 4.3: Určete

a) parametrický tvar přímky

p

b) kanonický tvar rovnice přímky

p

c) přímku

p jako průsečnici dvou různoběžných rovin,

jestliže přímka

p prochází danými body A = [2; 9; 3]; B = [5; 3; 11].

Výsledek: Parametrický tvar

p : x = 2 + 3:t; y = 9 6:t; z = 3 + 8:t ;

kanonický tvar

x 2

3

=

y 9

6

=

z 3

8

;

dále

p =  \ , kde roviny  : 2:x + y 13 = 0,  : 8:x 3:z 7 = 0.

Příklad 4.4: Rozhodněte o vzájemné poloze přímek

p; q, jsou-li zadány takto:

a)

p : x = 4; y = 5 + t; z = 1 + 2:t, q : x y z 4 = 0; x + y 3:z = 0

b)

p : x = 1 + 3:t; y = 7 + 2:t; z = 4 t, q : x = 2 + 3:t; y = 5 2:t; z = 3 t.

Výsledek: a) přímky jsou mimoběžné (

p \ q = ;) b)přímky jsou různoběžné,

p \ q = [2; 5; 3].

5

Úlohy o rovinách a přímkách

Umíme již pracovat s vektory v pravoúhlé souřadnicové soustavě: pro vektor

~u

s počátečním bodem

A = [x1; y1; z1] a koncovým bodem B = [x2; y2; z2] je délkou

5. Úlohy o rovinách a přímkách

27

vektoru

~u (neboli jeho normou v prostoru R3) číslo

k~uk = k(x2 x1; y2 y1; z2 z1)k =

q

(

x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2 ;

toto kladné číslo je zároveň vzdáleností bod˚

u

A; B: Máme tak připraveny nástroje

pro řešení úloh o přímkách a rovinách. Soustředíme se přitom postupně na: