M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

R2 lze přímky

interpretovat jako lineární podprostory dimenze 1. Tedy m˚

užeme přiřadit každé

přímce v

R2 jedinou obecnou rovnici typu a:x+b:y+c = 0 pro a; b; c 2 R, formálně

analogickou obecné rovnici roviny v

R3. Jak vzápětí uvidíme, popis přímky v R3

tak snadný nebude – budeme mít totiž tři parametrické rovnice pro jednotlivé
souřadnice v

R3, z nichž jediný parametr nelze vyloučit takovým zp˚usobem, aby

k popisu přímky postačovala jediná rovnice.

Přímka v prostoru

R3 je zřejmě určena bud’ dvěma body, kterými prochází,

nebo jedním takovým bodem a směrovým vektorem z

R3, s nímž je rovnoběžná.

4. Rovnice přímky

24

První případ (se dvěma body) m˚

užeme snadno převést na druhý (směrový vek-

tor určíme jako rozdíl polohových vektor˚

u zadané dvojice bod˚

u), a nemusíme se

jím tedy zvlášt’ zabývat. Rovnici přímky m˚

užeme zapsat několika zp˚

usoby; jejich

odvození je zřejmé z následujícího obrázku. Uvažujme přímku

p, která prochází

bodem

P = [x0; y0; z0] a je rovnoběžná s nenulovým vektorem ~s = (a; b; c), obecný

bod přímky

p označme P = [x; y; z]. S použitím polohového vektoru ~r0 bodu P0 a

polohového vektoru

~r bodu P dostáváme ~r ~r0 = t:~s a odtud snadno vektorovou

rovnici přímky

p

~r = ~r0 + t:~s

pro libovolné reálné číslo

t. Rozepsáním do složek x; y; z dostáváme dále para-

metrické rovnice přímky

p

x = x0 + a:t ; y = y0 + b:t ; z = z0 + c:t ; t 2 R :

Vyloučením parametru

t z parametrických rovnic, není-li žádné z čísel a; b; c rovno

nule (aspoň jedno musí být vždy nenulové v d˚

usledku předpokladu

k~sk 6= 0),

dostaneme ještě kanonickou rovnici přímky

p

x x0

a

=

y y0

b

=

z z0

c

;

ve skutečnosti jde o dvě rovnice, z nichž každou lze považovat za rovnici jisté
roviny. Není-li podmínka (