M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

~a ~b

k~a ~bk

j:k~a ~bk = j~c q (~a ~b)j = j[~a;~b;~c]j :

Všimněme si ještě, že každý rovnoběžnostěn lze rozdělit na dva trojboké hra-

noly stejného objemu s vrcholy ve vrcholech p˚

uvodního rovnoběžnostěnu; každý

z těchto trojbokých hranol˚

u lze obdobným zp˚

usobem ještě dále rozdělit na tři

čtyřstěny . Objem čtyřstěnu o zadaném vrcholu

M s hranami ~a;~b;~c z předchozí

věty tedy je

V = V=6. Chceme-li využít d˚ukazu předchozí věty, m˚užeme ke stej-

nému závěru dospět i výpočtem

V =

1

3

k~a ~bk

2

 h =

1

6

 k~a ~bk  h =

V

6

:

Příklad 2.1: Vypočítejte smíšený součin vektor˚

u

~a = (2; 1; 3), ~b = (1; 2; 3),

~c = (1; 1; 1).

Řešení:

[

~a;~b;~c] =

2 1

3

1 2

3

1 1

1

= 4 + 3

3 + 6

1

6 = 3

:

Příklad 2.2: Čtyřstěn je určen body

A = [ 4; 4; 2], B = [0; 3; 1], C =

[ 2

; 4; 3] a D = [1; 5; 4]. Zjistěte jeho objem V a vzdálenost  vrcholu D od

stěny

ABC.

Řešení: Označme

~a =

!

AD = (5; 9; 6), ~b =

!

BD = (1; 8; 3) a ~c =

!

CD =

(3

; 1; 1). Pak

[

~a;~b;~c] =

5

9 6

1

8 3

3

1 1

=

13

3 6

8

5 3

0

0 1

=

13 3

8 5

= 65

24 = 41

;

hledaný objem je tedy

V = 41=6. Pro geometrickou představu m˚užeme použít

obrázek z předešlé věty;

A; B; C jsou koncové body vektor˚u ~a;~b;~c, místo bodu

M zde máme zadaný vrchol D. Podstava ABC má hrany určené vektory ~u =

~a ~b = (4; 1; 3) a ~v = ~c ~b = (2; 7; 2). Pro obsah P podstavy ABC tedy platí

2

:P = ku  vk, přitom

u  v =

~e1 ~e2 ~e3

4

1

3

2

7

2

=

1

3

7

2

 ;

4

3

2

2

 ;

4

1

2

7

!

=

3. Rovnice roviny

18

(2

21

; 8 + 6; 28 + 2) = ( 19; 14; 30) ;

takže

2

:P = j( 19; 14; 30)j =

p

361 + 196 + 900 =

p

1457

:

Pro hledanou vzdálenost