M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

u

~a;~b;~c je jistý vektor, který

je lineární kombinací vektor˚

u ~

b;~c a současně je kolmý na vektor ~a i na vektor

~b ~c. Je to vidět z obrázku a také z výrazu na pravé straně rovnice, nebot’ ~a q~c i

~a q~b jsou reálné konstanty. Na obrázku také vidíme, že vektor ~b  ~c je kolmý na

~b i ~c, (a také vektor ~a  (~b  ~c) je kolmý na ~a); přitom vektory ~a  (~b  ~c), ~b a ~c

jsou komplanární.

~a

-~b

~c

6

~b  ~c

@

@

@

@

R~a  (

~b  ~c)

Platnost vzorce pro dvojný vektorový součin m˚

užeme ověřit přímým výpoč-

tem vektoru

~a(~b~c) na levé straně rovnice a vektoru ~b:(~a q~c) ~c:(~a q~b) na straně

1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti

13

pravé. Porovnáním koeficient˚

u u vektor˚

u

~e1;~e2;~e3 pro oba tyto vektory zjistíme,

že jsou shodné. Ukážeme si tento výpočet pro srovnání koeficient˚

u např. u sou-

řadnicového vektoru

~e1. Na levé straně máme

~a  (~b  ~c) = (a1; a2; a3) 

b2 b3

c2 c3

 ;

b1 b3

c1 c3

 ;

b1 b2

c1 c2

!

=

~e1

~e2

~e3

a1

a2

a3

b2 b3

c2 c3

b1 b3

c1 c3

b1 b2

c1 c2

=

(

a2:b1:c2 a2:b2:c1 + a3:b1:c3 a3:b3:c1):~e1 + (: : :):~e2 + (: : :):~e3 :

Stejný koeficient

a2:b1:c2

a2:b2:c1 + a3:b1:c3

a3:b3:c1 u vektoru ~e1 přitom do-

staneme pro vektor ~

b:(~a q~c) ~c:(~a q~b) na pravé straně rovnice:

(

b1; b2; b3):(a1:c1 + a2:c2 + a3:c3) (c1; c2; c3):(a1:b1 + a2:b2 + a3:b3) =

[

b1:(a1:c1 + a2:c2 + a3:c3) c1:(a1:b1 + a2:b2 + a3:b3)]:~e1 + (: : :):~e2 + (: : :):~e3 =

(

a1:b1:c1 + a2:b1:c2 + a3:b1:c3 a1:b1:c1 a2:b2:c1 a3:b1:c3):~e1 +

(

: : :):~e1 + (: : :):~e3 =

(

a2:b1:c2 + a3:b1:c3 a2:b2:c1 a3:b3:c1):~e1 + (: : :):~e2 + (: : :):~e3 :

Užitím vzorce pro dvojný vektorový součin lze dokázat mnoho identit, které