M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

platí mezi vektory. Uved’me alespoň tři z nich i s krátkými d˚

ukazy:

(

~a ~b)  ~c = ~b:(~a q~c) ~a:(~b q~c) ;

(

~a ~b)  (~c  ~d) = [~a;~b; ~d]:~c [~a;~b;~c]:~d;

(

~a ~b) q (~c  ~d) =

~a q~c ~a q ~d

~b q~c ~b q ~d

 :

První vztah ověříme snadno přímým výpočtem

(

~a ~b)  ~c = (~c  (~a ~b)) = ~a:(~c q~b) ~b:(~c q~a) =

~b:(~c q~a) ~a:(~c q~b) :

Ve druhém vztahu jde geometricky o vektor, který leží jak v rovině určené vektory

~a a ~b (je totiž kolmý k ~a ~b), tak v rovině určené vektory ~c a ~d (je rovněž kolmý

k

~c  ~d). Celkově má vektor

(

~a ~b)  (~c  ~d) = ~c:((~a ~b) q ~d)

~d:((~a ~b) q~c) =

[

~a;~b; ~d]:~c [~a;~b;~c]:~d

1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti

14

směr pr˚

usečnice roviny určené vektory

~a a ~b s rovinou, která je určena vektory

~c a ~d (na konkrétním umístění žádné z těchto dvou rovin v R3 přitom nezáleží).

Pro pochopení třetího vztahu označme

~u = ~a ~b. Pak m˚užeme psát

(

~a ~b) q (~c  ~d) = ~u q (~c  ~d) = [~u;~c; ~d] = (~u  ~c) q ~d = ((~a ~b)  ~c) q ~d =

(

~c  (~a ~b)) q ~d = (~a:(~c q~b) ~b:(~c q~a)) q ~d = (~b q ~d):(~a q~c) (~a q ~d):(~c q~b) ;

což je právě uvedený determinant.

Příklad 1.6: Vypočítejte dvojný vektorový součin

~v = ~a  (~b  ~c), je-li

~a = (1; 2; 4), ~b = (5; 1; 3) a ~c = (0; 6; 1).

Řešení: S využitím jedné z odvozených vlastností dvojného vektorového sou-

činu dostáváme

~v = ~b:(~a q~c) ~c:(~a q~b) =

(5

; 1; 3):((1; 2; 4) q (0; 6; 1)) (0; 6; 1):((1; 2; 4) q (5; 1; 3)) =

8

:(5; 1; 3) 19:(0; 6; 1) = ( 40; 106; 43) :