M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

=

1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti

10

~e1 ~e2 ~e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

+

~e1 ~e2 ~e3

a1 a2 a3

c1 c2 c3

=

~a ~b + ~a  ~c ;

analogicky (

~a +~b)  ~c.

Poslední vztah také dokážeme snadno, neboť platí:

k:(~a ~b) = k:

~e1 ~e2 ~e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

=

~e1

~e2

~e3

k:a1 k:a2 k:a3

b1

b2

b3

=

~e1

~e2

~e3

a1

a2

a3

k:b1 k:b2 k:b3

:

Dokázali jsme, že vektorový součin splňuje distributivní zákony. Na první

pohled by se mohlo zdát, že splňuje také zakon asociativní, tedy že dva vektory
(

~a  ~b)  ~c; ~a  (~b  ~c) jsou stejné. To však obecně neplatí, neboť např. pro

~a = ~e1; ~b = ~e1; ~c = ~e2 dostaneme

(

~a ~b)  ~c = (~e1  ~e1)  ~e2 = ~o  ~e2 = ~o ;

~a  (~b  ~c) = ~e1  (~e1  ~e2) = ~e1  ~e3 = ~e2 :

Za chvíli uvidíme, že (

~a  ~b)  ~c; ~a  (~b  ~c) jsou obecně skutečně dva různé

vektory, neboť platí

(

~a ~b)  ~c = (~c q~a):~b (~c q~b):~a; ~a  (~b  ~c) = (~a q~c):~b (~a q~b):~c :

Vektor

~a  (~b  ~c) má dokonce svůj speciální název: dvojný vektorový součin.

Praktické počítání s vektory si procvičíme v následujících příkladech.

Příklad 1.1: Vypočítejte vektorový součin vektor˚

u

~a a ~b, znáte-li

a)

~a = (2; 3; 1), ~b = ~e1 + 2:~e2 + ~e3,

b)

~a = (1; 3; 2), ~b = 2:~a (5; 15; 10).

Řešení: V případě a) je

~a ~b =

~e1 ~e2 ~e3

2

3

1

1

2

1

=

3

1

2

1

 ;

2

1

1

1

 ;

2 3
1 2

!

= (5

; 3; 1) :

Vektor

~a  ~b je přitom skutečně kolmý na vektory ~a i ~b, nebot’ (~a  ~b) q~a =

(5

; 3; 1) q (2; 3; 1) = 10 9 1 = 0 a (~a~b) q~b = (5; 3; 1) q (1; 2; 1) = 5 6+1 =

0. To je odlišné od případu b): pro vektor ~