M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

kde však v prvním řádku nejsou jen čísla (jak jsme zvyklí z lineární algebry), ale
vektory souřadnicových os

~e1 = (1; 0; 0); ~e2 = (0; 1; 0); ~e3 = (0; 0; 1), ve druhém

a třetím řádku pak souřadnice vektorů

~a;~b. Rozvojem tohoto determinantu podle

prvního řádku totiž dostaneme okamžitě vzorec uvedený ve větě:

~e1 ~e2 ~e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

=

a2 a3

b2 b3

 :~e1

a1 a3

b1 b3

 :~e2

+

a1 a2

b1 b2

 :~e3

=

~a ~b :

Vektor

~a ~b tedy můžeme psát přímo v souřadnicovém tvaru

~a ~b =

a2 a3

b2 b3

 ;

a1 a3

b1 b3

 ;

a1 a2

b1 b2

!

:

Nyní si větu 1.1 dokážeme – ověříme, že vektor

~a ~b uvedený v této větě splňuje

všechny tři podmínky z definice vektorového součinu. V důkazu poslední z těchto
podmínek budeme potřebovat tzv. Lagrangeovu identitu, prověřme si tedy její
platnost v následující poznámce.

Poznámka. Nechť

~a = (a1; a2; a3), ~b = (b1; b2; b3) jsou nenulové vektory, pak

platí

jj~a ~bjj2 = jj~ajj2:jj~bjj2 (~a q~b)2 :

Je-li podle věty 1.1 vektor

~a ~b =

a2 a3

b2 b3

 ;

a1 a3

b1 b3

 ;

a1 a2

b1 b2

!

=

(

a2:b3 a3:b2; a3:b1 a1:b3; a1:b2 a2:b1) ;

můžeme vypočítat levou, resp. pravou stranu Lagrangeovy identity takto:

jj~a ~bjj2 = (a2:b3 a3:b2)2 + (a3:b1 a1:b3)2 + (a1:b2 a2:b1)2 ;

1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti

7

jj~ajj2:jj~bjj2 (~a q~b)2 = (a2

1 + a

2
2 + a

2
3):(b

2
1 + b

2
2 + b

2
3)

(

a1:b1 + a2:b2 + a3:b3)2 :

Roznásobíme-li podrobně oba výrazy na pravé straně těchto dvou rovnic, ihned
uvidíme, že jsou stejné. Tím je Lagrangeova identita dokázána a máme vše při-
praveno k důkazu věty 1.1.

D˚

ukaz: Dokážeme postupně všechny tři podmínky uvedené v definici vekto-

rového součinu.
První podmínku kolmosti vektoru

~a~b k oběma vektorům ~a;~b prověříme přímým