M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

~a ~b dvou vektorů

(což je opět vektor), smíšený součin [

~a;~b;~c] tří vektorů (smíšeným součinem bude

reálné číslo, „skalárÿ) a tzv.dvojný vektorový součin

~a  (~b  ~c) (opět vektor v

prostoru

R3). Právě tyto pojmy jsou v prvních dvou kapitolách studovány a pak

použity při řešení různých geometrických úloh. Skripta nejsou příliš rozsáhlá a
zabývají se pouze geometrií útvarů lineárních (přímka, rovina).

Připomeňme nyní alespoň stručně některé vlastnosti vektorů, které známe z

předchozího učebního textu [4]. Množina M se nazývá lineárním (vektorovým)
prostorem, jestliže je definován součet

~x + ~y 2 M dvou prvků (vektorů) ~x; ~y 2 M

a také násobek

k:~x 2 M prvku ~x číslem k. (Můžeme přitom předpokládat k 2 R,

obecněji také komplexní číslo

k 2 C; podle toho hovoříme o vektorovém prostoru

nad množinou

R případně C.) Platí přitom známá pravidla pro počítání s vektory.

Říkáme, že vektory

~v1; : : :~vn 2 M tvoří bázi prostoru M, jestliže každý vektor

~a 2 M lze jediným způsobem vyjádřit ve tvaru ~a = a1:~v1 + a2:~v2 +    + an:~vn,

kde

a1; a2; : : : ; an jsou čísla, tzv.souřadnice vektoru ~a v bázi ~v1;~v2; : : : ;~vn. Pí-

šeme

~a = (a1; a2; : : : ; an), přirozené číslo n 2 R nazýváme dimenzí prostoru

M. V našem případě je množinou M obyčejný trojrozměrný euklidovský prostor
R3, tedy n = 3, bází budeme v celém textu rozumět tzv.kanonickou ortonor-
mální bázi vektorů souřadných os

~e1 = (1; 0; 0);~e2 = (0; 1; 0);~e3 = (0; 0; 1):

Vektory budeme vždy důsledně značit šipkami:

~a = (a1; a2; a3) 2 R3. V sa-

motném textu někdy připomeneme pojmy, které bychom už měli znát z před-
chozího studia (např.pojmy kladné resp. záporné orientace báze), zde na závěr
připomeňme alespoň základní vlastnosti skalárního součinu dvou vektorů o sou-