M07 - Neurčitý integrál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Z
1
q
2 − (x + 1)2
dx
= −
√
1 − 2x − x2 − 2 arcsin
x + 1
√
2
+ c,
kde x ∈ (−1 −
√
2, −1 +
√
2).
Pˇ
r´ıklad 6.5. Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
al
Z
x + 2
√
x2 + 2x + 2
dx
na R.
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
x + 2
√
x2 + 2x + 2
dx =
Z
x + 2
q
(x + 1)2 + 1
dx =
x + 1 = u
dx = du
=
Z
u + 1
√
1 + u2
du =
Z
u
√
1 + u2
du +
Z
1
√
1 + u2
du
= I1 + I2,
kde
I1 =
1 + u2 = s2
u du = s ds
=
Z
ds = s =
√
1 + u2 =
√
x2 + 2x + 2;
I2 = ln(u +
√
1 + u2) = ln(x + 1 +
√
x2 + 2x + 2).
Celkem dost´
av´
ame
Z
x + 2
√
x2 + 2x + 2
dx =
√
x2 + 2x + 2 + ln(x + 1 +
√
x2 + 2x + 2) + c
pro x ∈ R.
Pˇ
r´ıklad 6.6. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci
1
√
1 + x2
na R.
27
ˇ
Reˇ
sen´ı. Zvol´ıme Eulerovu substituci podle bodu (a), kde t ∈ (0, ∞) a pouˇ
zijeme
Vˇ
etu 3.2.
Z
1
√
1 + x2
dx =
x =
t2 − 1
2t
dx =
t2 + 1
2t2
dt
=
Z
1
q
1 +
(t2−1)2
4t2
·
t2 + 1
2t2
dt
=
Z
1
q (t2+1)2
4t2
·
t2 + 1
2t2
dt =
Z
1
t
dt = ln t
= ln
x +
√
1 + x2
+ c.
Pˇ
r´ıklad 6.7. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci
√
1 + x2
na R.
ˇ
Reˇ
sen´ı. Zvol´ıme hyperbolickou substituci podle bodu (c), kde t ∈ (−∞, ∞).
Z
√
1 + x2 dx =
x = sinh t
t = argsinh x
dx = cosh tdt
=
Z
q
1 + sinh
2 t cosh t dt =
Z
cosh
2 t dt
=
1
2
Z
(1 + cosh 2t) dt =
1
2
t +
1
2
sinh 2t
=
1
2
(t + sinh t cosh t) =
1
2
t + sinh t
q
1 + sinh
2 t
=
1
2
argsinh x + x
√
1 + x2
=
1
2
h
ln(x +
√
1 + x2) + x
√
1 + x2
i
+ c.
Pozn´
amka 6.1. Pˇredeˇsl´
y pˇr´ıklad lze t´
eˇ
z ˇreˇsit metodou per partes pˇri souˇ
casn´
em
vyuˇ
zit´ı v´
ysledku z Pˇr´ıkladu 6.6 tohoto odstavce.
Pˇ
r´ıklad 6.8. Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
al
Z
x