M07 - Neurčitý integrál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
asleduj´ıc´ıho obr´
azku:)
cos x =
1
√
1 + t2
,
sin x =
t
√
1 + t2
.
Pˇri substituci tg
x
2 = t dostaneme:
20
cos x = cos
2 x
2
− sin
2 x
2
=
1 − t2
1 + t2
,
sin x = 2 sin
x
2
cos
x
2
=
2t
1 + t2
.
Pˇ
r´ıklad 5.1. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci
cos3 x
1 + 4 sin
2 x
na intervalu R.
ˇ
Reˇ
sen´ı.
R(u, −v) =
(−v)3
1 + 4u2
= −
v3
1 + 4u2
= −R(u, v).
Zvol´ıme substituci sin x = t.
Z
cos3 x
1 + 4 sin
2 x
dx =
sin x = t
cos x dx = dt
=
Z
1 − t2
1 + 4t2
dt
=
1
4
Z
−1 +
5
1 + 4t2
dt =
1
4
−t +
5
2
arctg 2t
+ c
=
1
4
− sin x +
5
2
arctg(2 sin x)
+ c.
Pˇ
r´ıklad 5.2. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci
1
4 sin
2 x − 4 sin x cos x + 7 cos2 x
na intervalu (0, π/2).
ˇ
Reˇ
sen´ı.
R(−u, −v) =
1
4(−u)2 − 4(−u)(−v) + 7(−v)2
=
1
4u2 − 4uv + 7v2
= R(u, v).
Zvol´ıme substituci tg x = t.
Z
1
4 sin
2 x − 4 sin x cos x + 7 cos2 x
dx
=
tg x = t
sin x =
t
√
1+t2
x = arctg t dt cos x =
1
√
1+t2
dx =
1
1+t2 dt
=
Z
1
4
t2
1+t2 −
4t
1+t2 + 7
1
1+t2
1
1 + t2
dt =
Z
1
4t2 − 4t + 7
dt =
Z
1
(2t − 1)
2 + 6
dt
=
1
2
√
6
arctg
2t − 1
√
6
+ c =
1
2
√
6
arctg
2 tg x − 1
√
6
+ c
21
Pˇ
r´ıklad 5.3. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci
1
4 − 5 sin x
na intervalu (0, π/4).
ˇ
Reˇ
sen´ı. Zvol´ıme substituci tg
x
2 = t.
Z
1
4 − 5 sin x
dx =
tg
x
2
= t
sin x =
2t
1+t2
x = 2 arctg t cos x =
1−t2
1+t2
dx =
2
1+t2 dt
=
Z
2
4 −
10t
1+t2
(1 + t2)
dt =
Z
1
2t2 − 5t + 2
dt
=
1
3
Z
1
t − 2
−
2
2t − 1
dt + c =
1
3
(ln |t − 2| − ln |2t − 1|) + c
=
1
3
ln
tg
x
2 − 2
2 tg
x
2 − 1
+ c.
5.2
Typ R sin αx sin βx dx .
Necht’ α, β ∈ R. K v´ypoˇctu integr´al˚
u
Z
sin αx sin βx dx,