M07 - Neurčitý integrál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
= xe
x −
Z
e
x dx = (x − 1) ex + c.
12
(b) f (x) = ln x na (0, ∞).
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
ln x dx =
u(x) = ln x
v0 (x) = 1
u0 (x) = 1/x v(x) = x
= x ln x −
Z
dx = x (ln x − 1) + c.
(c) f (x) =
ln
2 x
x2
na (0, ∞).
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
ln
2 x
x2
dx =
u(x) = ln
2 x, v0(x) =
1
x2
u0(x) =
2 ln x
x
,
v(x) = −
1
x
= −
ln
2 x
x
+ 2I,
kde
I
=
Z
ln x
x2
dx =
u(x) = ln x, v0(x) =
1
x2
u0(x) =
1
x ,
v(x) = −
1
x
= −
ln x
x
+
Z
1
x2
dx = −
ln x
x
−
1
x
= −
ln x + 1
x
+ c.
Celkem tedy
Z
ln
2 x
x2
dx = −
ln
2 x + 2 ln x + 2
x
+ c,
x ∈ R
+.
(d) f (x) = x
3 arctg x na R.
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
x
3 arctg x dx =
u(x) = arctg x, v0(x) = x3
u0(x) =
1
1+x2 ,
v(x) =
1
4 x
4
=
x4
4
arctg x −
1
4
Z
(x4 − 1) + 1
x2 + 1
dx
=
x4
4
arctg x −
1
4
Z
x
2 − 1 +
1
x2 + 1
dx
=
x4
4
arctg x −
1
4
x3
3
− x + arctg x
!
=
x4 − 1
4
arctg x −
x3
12
+
x
4
+ c.
13
Pˇ
r´ıklad 3.4. Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
al
I =
Z
e
x sin x dx
na R.
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
e
x sin x dx =
u(x) = ex
v0 (x) = sin x
u0 (x) = ex v(x) = − cos x
= −e
x cos x +
Z
e
x cos x dx
=
u(x) = ex
v0 (x) = cos x
u0 (x) = ex v(x) = sin x
= e
x(− cos x + sin x) −
Z
e
x sin x dx.
Tedy
I = e
x(sin x − cos x) − I,
a odtud pro x ∈ R
Z
e
x sin x dx =
1
2
e
x(sin x − cos x) + c,
c ∈ R.
Pozn´
amka 3.1. Analogick´
ym zp˚
usobem lze poˇ
c´ıtat integr´
aly
Z
e
ax sin bx dx,
Z
e
ax cos bx dx na R,
kde a, b jsou libovoln´
e re´
aln´
e konstanty.
Pˇ
r´ıklad 3.5. Kombinac´ı prvn´ı substituˇ
cn´ı metody a metody per partes vypoˇ
c´ıtejte
integr´
aly
I =
Z
x
5 ex
2
dx,
J =
Z
arctg x dx
na R.
ˇ
Reˇ
sen´ı.
I
=
x2 = t
2xdx = dt
=
1