M07 - Neurčitý integrál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
x,
x ∈ (0, 1] ,
1,
x ∈ (1, 2) .
Podle Vˇ
ety 2.1 primitivn´ı funkce existuje. Zvolme primitivn´ı funkce v jednotliv´
ych
intervalech takto:
F1(x) =
1
2
x
2,
x ∈ (0, 1) ,
F2(x) = x + d,
x ∈ (1, 2) ,
kde d je konstanta. Protoˇ
ze funkce F mus´ı b´
yt spojit´
a, zvol´ıme konstantu d tak, aby
lim
x→1+
F2(x) = lim
x→1−
F1(x) =
1
2
.
Odtud d = −1/2. Tedy celkem
F (x) =
1
2
x
2,
x ∈ (0, 1] ,
x −
1
2
,
x ∈ (1, 2) .
Pˇritom
F
0
+(1) =
lim
x→1+
x −
1
2 −
1
2
x − 1
= 1,
F
0
−(1) = lim
x→1−
x2
2 −
1
2
x − 1
=
1
2
lim
x→1−
(x + 1) = 1.
Vid´ıme tedy, ˇ
ze funkce F je spojit´
a v bodˇ
e 1 a F 0(x) = f (x) pro kaˇ
zd´
e x ∈ (0, 2).
Je tedy funkce F primitivn´ı k funkci f na (0, 2).
Grafy funkc´ı f a F jsou zn´
azornˇ
eny na obr´
azku 2.
7
Pozn´
amka 2.4. Funkce g definovan´
a na intervalu (0, 2) takto
g(x) =
x,
x ∈ (0, 1] ,
2,
x ∈ (1, 2) ,
nem´
a na tomto intervalu primitivn´ı funkci ve smyslu naˇs´ı definice.
Pozn´
amka 2.5. Existuj´ı vˇsak i nespojit´
e funkce, k nimˇ
z je moˇ
zno nal´
ezt primitivn´ı
funkce.
Vˇ
eta 2.2. Jestliˇ
ze existuj´ı primitivn´ı funkce k funkc´ım f a g na otevˇ
ren´
em inter-
valu I, pak plat´ı
Z
cf (x) dx = c
Z
f (x) dx,
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx,
kde c 6= 0 je libovoln´
a re´
aln´
a konstanta.
Obr´
azek 2: Pˇr´ıklad 2.1.
8
Pozn´
amka 2.6. Zobrazen´ı A f →
R f dx je line´
arn´ı zobrazen´ı line´
arn´ıho prostoru
C0(I) do line´
arn´ıho prostoru C1 (I). Toto tvrzen´ı plyne z Vˇ
ety 2.2.
Tabulkov´
e integr´
aly.
Z tabulky derivac´ı dost´
av´
ame okamˇ
zitˇ
e tabulku primitivn´ıch funkc´ı. V n´
asleduj´ıc´ıch
vzorc´ıch je c ∈ R libovoln´a konstanta:
Z
x
n dx =
xn+1
n + 1