M07 - Neurčitý integrál

k funkci f na I, pro kterou plat´ı F (x0) = y0 (graf funkce F proch´

az´ı bodem

[x0, y0]).

(c) Funkce F je spojit´

a na intervalu I.

Pozn´

amka 2.2. Jsou-li F , G primitivn´ı funkce k funkci f na otevˇren´

em intervalu

I, pak existuje takov´

e ˇ

c´ıslo c ∈ R, ˇze plat´ı G (x) = F (x) + c na I. Mnoˇzinu vˇsech

tˇ

echto primitivn´ıch funkc´ı obvykle naz´

yv´

ame neurˇ

cit´

ym integr´

alem funkce f na I a

znaˇ

c´ıme jej

R f (x) dx.

6

Pozn´

amka 2.3. V literatuˇre je moˇ

zn´

e se tak´

e setkat s definic´ı primitivn´ıch funkc´ı

na obecnˇ

ejˇs´ıch mnoˇ

zin´

ach, neˇ

zli jsou intervaly (napˇr. sjednocen´ı interval˚

u). Tato

obecnˇ

ejˇs´ı definice vˇsak m´

a nˇ

ekter´

e nev´

yhody (napˇr. primitivn´ı funkce se nemus´ı liˇsit

o konstantu).

V dalˇs´ım textu se sezn´

am´ıme s r˚

uzn´

ymi metodami v´

ypoˇ

ctu primitivn´ıch funkc´ı. Je

vhodn´

e si ale uvˇ

edomit, ˇ

ze i kdyˇ

z n´

am n´

asleduj´ıc´ı Vˇ

eta 2.1 zaruˇ

cuje existenci prim-

itivn´ı funkce ke kaˇ

zd´

e spojit´

e funkci na otevˇren´

em intervalu, pˇresto se v aplikaˇ

cn´ıch

´

uloh´

ach vyskytuj´ı takov´

e spojit´

e funkce na intervalu, k nimˇ

z neexistuj´ı primitivn´ı

funkce, kter´

e se daj´ı vyj´

adˇrit jako koneˇ

cn´

e line´

arn´ı kombinace funkc´ı sloˇ

zen´

ych z

element´

arn´ıch funkc´ı. Patˇr´ı k nim napˇr.

Z

ex

x

dx,

Z

e

−x2 dx,

Z

sin x

2 dx,

Z

cos x

x

dx,

Z

1

√

1 − k2 sin

2 x

dx,

kde 0 < k < 1, apod. ˇ

R´ık´

ame pak ˇ

casto, ˇ

ze tyto integr´

aly jsou tzv. neelement´

arn´ı.

Vˇ

eta 2.1. Kaˇ

zd´

a funkce spojit´

a na otevˇ

ren´

em intervalu I m´

a na tomto intervalu

primitivn´ı funkci.

Pˇ

r´ıklad 2.1. Uk´

aˇ

zeme pˇr´ıklad konstrukce primitivn´ı funkce F k funkci f v inter-

valu (0, 2). Funkce f je d´

ana takto:

f (x) =