M07 - Neurčitý integrál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
ren´
y interval
I na interval J a necht’ m´
a koneˇ
cnou derivaci ϕ0 6= 0 na I. Je-li G primitivn´ı funkc´ı
k funkci (f ◦ ϕ) ϕ0 na I, pak funkce G ◦ ϕ−1 je primitivn´ı k f na J a plat´ı
Z
f (x) dx =
Z
f (ϕ(t)) ϕ
0(t) dt = G(t) + c = G
ϕ
−1(x)
+ c.
11
D˚
ukaz. Z pˇredpokladu, ˇ
ze ϕ0 6= 0 plyne, ˇ
ze funkce ϕ je spojit´
a a ϕ0 > 0 nebo
ϕ0 < 0. Z tohoto dost´
av´
ame, ˇ
ze funce ϕ je ryze monotonn´ı a existuje tedy inverzn´ı
funkce ϕ−1, kter´
a je spojit´
a a m´
a koneˇ
cnou derivaci. Pro libovoln´
e x ∈ J tedy plat´ı
G
ϕ
−1(x)
0
= G
0
ϕ
−1(x)
ϕ
−1(x)
0
= G
0(t)
1
ϕ0(t)
= f (ϕ(t)) ϕ
0(t)
1
ϕ0(t)
= f (ϕ(t)) = f (x).
Pˇ
r´ıklad 3.2. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci
√
1 − x2 na intervalu J = (−1, 1).
ˇ
Reˇ
sen´ı. Poloˇ
zme ϕ(t) = sin t, I = (−π/2, π/2), ϕ : (−π/2, π/2) → (−1, 1), ϕ0 6= 0
na J .
Z
√
1 − x2 dx =
x = sin t = ϕ (t)
t = arcsin x = ϕ−1 (t)
dx = cos t dt
=
Z
q
1 − sin
2 t cos t dt
=
Z
|cos t| cos t dt =
Z
cos
2 t dt
=
Z
1 + cos 2t
2
dt =
1
2
t +
1
2
sin 2t
=
1
2
(t + sin t cos t) =
1
2
t + sin t
q
1 − sin
2 t
=
1
2
arcsin x + x
√
1 − x2
+ c.
Vˇ
eta 3.3. (Metoda per partes.) Necht’ funkce u, v maj´ı spojit´
e derivace na otevˇ
ren´
em
intervalu I. Potom na I plat´ı
Z
u(x)v
0 (x) dx +
Z
u
0 (x) v (x) dx = u(x)v (x) .
D˚
ukaz. Plyne z vˇ
ety o derivaci souˇ
cinu funkc´ı a definice primitivn´ı funkce.
Pˇ
r´ıklad 3.3. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k dan´
e funkci na dan´
em intervalu:
(a) f (x) = xex na R.
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
xe
x dx =
u(x) = x
v0 (x) = ex
u0 (x) = 1 v(x) = ex