M07 - Neurčitý integrál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Z
kt dt =
1
2
kt
2 + c.
Protoˇ
ze v(0) = 0 dost´
av´
ame, ˇ
ze c = 0. Odtud v(10) = 25 m · · ·−1. Pro dr´
ahu s m´
ame
s(t) =
Z
v(t) dt =
k
2
Z
t
2 dt =
1
6
kt
3 + d.
Vzhledem k tomu, ˇ
ze s(0) = 0 dost´
av´
ame, ˇ
ze d = 0 a tedy s(10) = 83.33 m.
Cviˇ
cen´ı 2.1. Uˇ
zit´ım z´
akladn´ıch vztah˚
u spoˇ
ctˇ
ete dan´
e integr´
aly na dan´
ych oborech:
a)
Z
x
3 −
1
x
+
4
√
x
2
+
6
3
√
x2
!
dx
na (0, ∞) ;
b)
Z
x4 − 3x2 − 1
√
x
dx
na (0, ∞) ;
c)
Z
x − 1
1 +
√
x
dx
na (0, ∞) ;
d)
Z
cos2 x
1 + sin x
dx
na
−
π
2
,
3π
2
;
e)
Z
sin
2 x
2
dx
na R;
f)
Z
tg
2 x dx na
−
π
2
,
π
2
.
10
3
Z´
akladn´ı integraˇ
cn´ı metody.
Vˇ
eta 3.1. (Prvn´ı substituˇ
cn´ı metoda.) Necht’ funkce f m´
a primitivn´ı funkci F na
otevˇ
ren´
em intervalu J . Necht’ funkce ϕ zobrazuje otevˇ
ren´
y interval I do J a m´
a na
intervalu I koneˇ
cnou derivaci. Potom F ◦ ϕ je primitivn´ı funkc´ı k funkci (f ◦ ϕ) ϕ0
na intervalu I a plat´ı
Z
f (ϕ (t)) ϕ
0 (t) dt = F (ϕ (t)) + c,
c ∈ R.
D˚
ukaz. Plyne pˇr´ımo z vˇ
ety o derivaci sloˇ
zen´
e funkce.
Pˇ
r´ıklad 3.1. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k dan´
e funkci g(t) na dan´
em intervalu:
a) g (t) = t cos(t2 + 1) na R.
ˇ
Reˇ
sen´ı. Dan´
a funkce je spojit´
a na R a podle Vˇety 2.1 existuje primitivn´ı
funkce.
Z
t cos
t
2 + 1
dt =
t2 + 1 = x
2t dt = dx
=
1
2
Z
cos x dx
=
1
2
sin x + c =
1
2
sin
t
2 + 1
+ c.
b) g (t) =
t
3 + 2t4
na R.
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
t
3 + 2t4
dt =
t2 = u
2tdt = du
=
1
2
Z
1
3 + 2u2
du
=
1
6
Z
1
1 +
√
2u
√
3
2 du =
√
2
√
3
u = x
√
2
√
3
du = dx
=
1
2
√
6
Z
1
1 + x2
dx =
1
2
√
6
arctg x + c
=
√
6
12
arctg
t2
√
6
3
+ c.
Vˇ
eta 3.2. (Druh´
a substituˇ
cn´ı metoda.) Necht’ funkce ϕ zobrazuje otevˇ