M07 - Neurčitý integrál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
z troˇ
sku n´
aroˇ
cnˇ
ejˇ
s´ı. Nejprve se budeme
zab´
yvat pˇ
r´ıpadem, kdy k = 1. Pak je vhodn´
e upravit integrand na tvar
K
f 0(x)
f (x)
+ L
1
f (x)
,
kter´
y jiˇ
z snadno integrujeme pomoc´ı prvn´ı substituˇ
cn´ı metody.
Pˇ
r´ıklad 4.2. Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
al
Z
x
x2 + 3x + 3
dx.
ˇ
Reˇ
sen´ı. Integrovan´
a funkce je definovan´
a pro vˇsechna x ∈ R a x
2 + 3x + 3 > 0 na
R.
Z
x
x2 + 3x + 3
dx =
Z
1
2 (2x + 3) −
3
2
x2 + 3x + 3
dx
=
1
2
Z
2x + 3
x2 + 3x + 3
dx −
3
2
Z
1
x2 + 3x + 3
dx =
1
2
I1 −
3
2
I2
I1 =
x2 + 3x + 3 = t,
t > 0
(2x + 3)dx = dt
=
Z
1
t
dt = ln t = ln(x
2 + 3x + 3),
I2 =
Z
1
(x +
3
2 )
2 + 3
4
dx =
4
3
Z
1
(
2x+3
√
3
)2 + 1
dx =
2x+3
√
3
= t
dx =
√
3
2 dt
=
2
√
3
3
Z
dt
t2 + 1
=
2
√
3
3
arctg t =
2
√
3
3
arctg t =
2
√
3
3
arctg
2x + 3
√
3
.
16
Celkem
1
2
I1 −
3
2
I2 =
1
2
ln(x
2 + 3x + 3) −
√
3 arctg
2x + 3
√
3
+ c,
kde c ∈ R je libovoln´e.
Pˇ
r´ıklad 4.3.
Z
2x + 1
9x2 + 6x + 5
dx =
1
9
Z
18x + 6
9x2 + 6x + 5
dx +
1
3
Z
1
9x2 + 6x + 5
dx
=
1
9
I1 +
1
3
I2
I1 =
9x2 + 6x + 5 = t
(18x + 6)dx = dt
=
Z
1
t
dt = ln |t| + c1 = ln(9x
2 + 6x + 5) + c
1
I2 =
Z
1
(3x + 1)2 + 4
dx =
3x + 1 = t
3 dx = dt
=
1
3
Z
1
t2 + 4
dt
=
1
6
arctg
3x + 1
2
+ c2.
Celkem dost´
av´
ame
Z
2x + 1
9x2 + 6x + 5
dx =
1
9
ln(9x
2 + 6x + 5) +
1
18
arctg
3x + 1
2
+ c.
Zb´
yv´
a n´
am integrace parci´
aln´ıch zlomk˚
u tvaru
Bx + C
(px2 + qx + r)
k ,
k > 1, k ∈ N.
Nejdˇ
r´ıve uprav´ıme integrand na tvar
K
f 0(x)
(f (x))
k + L
1
(f (x))
k .
Prvn´ı sˇ
c´ıtanec integrujeme podle prvn´ı substituˇ
cn´ı metody, ve druh´
em sˇ
c´ıtanci up-
rav´ıme v´
yraz 1/ (f (x))
k na tvar 1/ (t2 + a2)