M07 - Neurčitý integrál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
qm
r
ax+b
cx+d
dx .
Necht’ R je racion´
aln´ı funkce m + 1 promˇ
enn´
ych. Uvaˇ
zujme funkci
R
x,
q1
s
ax + b
cx + d
,
q2
s
ax + b
cx + d
, . . . ,
qm
s
ax + b
cx + d
,
kde a, b, c, d ∈ R, pˇriˇcemˇz ad − bc 6= 0.
Integraci funkc´ı tohoto typu lze pˇ
rev´
est na integraci funkc´ı racion´
aln´ıch v promˇ
enn´
e
t. Vyjdeme-li ze vztahu
ax + b
cx + d
= t
s,
kde s je nejmenˇ
s´ı spoleˇ
cn´
y n´
asobek ˇ
c´ısel q1, q2,...,qm, dostaneme
x =
dts − b
a − cts
.
Pˇ
r´ıklad 6.1. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci
1
x
s
4x + 1
x − 1
na intervalu (1, ∞).
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
1
x
s
4x + 1
x − 1
dx =
4x+1
x−1
= t2
x =
t2+1
t2−4
dx =
−10t
(t2−4)
2 dt
= −10
Z
t2
(t2 + 1) (t2 − 4)
dt = 2
Z
−
1
t2 + 1
+
1
t + 2
−
1
t − 2
dt
= 2 ln
t + 2
t − 2
− 2 arctg t + c
= 2 ln
q 4x+1
x−1 + 2
q 4x+1
x−1 − 2
− 2 arctg
s
4x + 1
x − 1
+ c.
Pˇ
r´ıklad 6.2. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci
√
x − 3
√
x
x 4
√
x + x 3
√
x
na intervalu (0, ∞).
24
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
√
x − 3
√
x
x 4
√
x + x 3
√
x
dx =
x = t12
dx = 12t11 dt
= 12
Z
t6 − t4
t15 + t16
t
11 dt = 12
Z
t2 − 1
t + 1
dt
= 12
Z
(t − 1) dt = 6t
2 − 12t + c = 6 6
√
x − 12
12
√
x + c.
6.2
Typ R R(x,
√
px2 + qx + r) dx .
Necht’
R(u, v) =
P (u, v)
Q(u, v)
je racion´
aln´ı funkce dvou promˇ
enn´
ych u, v a p, q, r ∈ R, p 6= 0. Uvaˇzujme integr´al
Z
R(x,
q
px2 + qx + r) dx .
Pokud m´
a polynom px2 + qx + r
• dvojn´
asobn´
y re´
aln´
y koˇren, pak jde o integraci racion´
aln´ı funkce;
• dva r˚
uzn´
e re´
aln´
e koˇreny, pak m˚
uˇ
zeme pˇrev´
est integr´
al na integr´
al typu
Z
R
x,
q1
s
ax + b
cx + d
,
q2