M07 - Neurčitý integrál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
• ˇ
C´ım se liˇs´ı 1. a 2. substituˇ
cn´ı metoda? Zformulujte znˇ
en´ı odpov´ıdaj´ıc´ıch vˇ
et.
• Vysvˇetlete myˇslenkov´
y postup v´
ypoˇ
ctu primitivn´ı funkce k parci´
aln´ım zlomk˚
um
tvaru
Bx + C
(px2 + qx + r)k
,
kde polynom ve jmenovateli m´
a komplexn´ı koˇreny.
• Vysvˇetlete postup pˇri integraci racion´
aln´ı funkce.
• Odvod’te rekurentn´ı vztah pro v´
ypoˇ
cet integr´
alu
Z
1
(t2 + a2)k
dt.
• Co je c´ılem substituc´ı pˇri ˇreˇsen´ı R R(sin x, cos x) dx?
• Jak se ˇreˇs´ı integr´
aly typu
R sin αx · sin βx dx apod. ?
• Odvod’te, ˇcemu se rovn´
a sin x, cos x pˇri substituci tg
x
2 .
• Popiˇste postup pˇri ˇreˇsen´ı integr´
al˚
u tvaru
Z
Ax + B
√
ax2 + bx + c
dx.
• Jak lze vypoˇc´ıtat integr´
aly tvaru
R
√
ax2 + bx + c dx?
31
8
Autotest.
Spoˇ
ctˇ
ete dan´
e integr´
aly na dan´
ych oborech:
1)
Z
3 + ln x
x
3
√
ln x − 4
dx
na
0, e
4
;
2)
Z
e
−2x sin(3x+2) dx na R;
3)
Z
cos 2x
cos x + sin x
dx
na
−
π
4
,
3π
4
;
4)
Z
1
√
2x − x2
dx
na (0, 2) ;
5)
Z
1 − 2 sin
2 x
sin
3 x cos x
dx
na
0,
π
2
;
6)
Z
(2x − 3x)
2
6x
dx
na R;
7)
Z
2 ln x + 7
x
ln
2 x + ln x − 2
dx
na ;
8)
Z
1
x3
5
s
x
x + 1
dx
na (−∞, −1) ;
9)
Z
cos(3x − 1) cos
x + 2
3
dx
na R;
10)
Z
x
2 cos2 x dx na R.
9
V´
ysledky cviˇ
cen´ı a autotestu.
Cviˇ
cen´ı 2.1.
a)
x4
4
− ln |x| +
2
5
x
4
√
x + 18
3
√
x + c;
b)
2
√
x
45
(5x
4 − 27x2 − 45) + c;
c)
x
3
2
√
x − 3
+ c;
d) x + cos x + c;
e)
x − sin x
2
+ c;
f) tg x − x + c.
32
Cviˇ
cen´ı 3.1.
a) −
1
4
ln |3 − 4x| + c = −
1
4
ln(4x − 3) + c
pro x ∈
3
4
, ∞
;
b)
1
3 cos3 x
+ c;
c)
1
3
q
(5 + x2)3 − 5
√
5 + x2 + c;
d)
1
4
arcsin
4 x + c;
e)
1
5
arctg
x + 2
5
+ c;
f) arcsin
x + 2
3