02_Spojité systémy

Elektrický systém:

Pozn:

Za předpokladu nezatíženého výstupu, tj. i2(t) = 0

odpor [Ω] 

kapacita [F]

𝑅𝐶

𝑑𝑢2(𝑡)

𝑑𝑡

+ 𝑢2(𝑡) = 𝑅𝐶

𝑑𝑢1(𝑡)

𝑑𝑡

𝑢1 𝑡 … vstupní napětí [V]

𝑢2 𝑡 … výstupní napětí [V]

u(t)

y(t)

vstupní signál

výstupní signál

T

𝑎1

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡

+ 𝑎0𝑦(𝑡) = 𝑏1

𝑑𝑢(𝑡)

𝑑𝑡

Příklady jednoduchých spojitých systémů

Mechanický systém:

y(t) … výchylka [m]

tuhost pružiny [N/m]

viskózní tlumení [N.s/m]

hmotnost [kg]

proměnná funkce síly [N] (vstup)

𝑚

𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2

+ 𝐵

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡

+ 𝐷𝑦 𝑡 = 𝑢(𝑡)

u(t)

y(t)

vstupní signál

výstupní signál

T

𝑎2

𝑑𝑦2(𝑡)

𝑑𝑡2

+ 𝑎1

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡

+ 𝑎0𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡)

Lineární diferenciální rovnice (DFR)

Fyzikální systémy lze často popsat pomocí diferenciálních rovnic (viz uvedené příklady).

V případě, že uvažujeme tyto systémy jako LTI

popis pomocí lineárních diferenciálních

rovnic s konstantními koeficienty.

Řešení těchto rovnic může být v mnoha případech poměrně náročné a složité.

využití Laplaceovy transformace

𝑖=0

𝑛

𝑎𝑖

𝑑𝑖𝑦(𝑡)

𝑑𝑡𝑖

= ෍

𝑖=0

𝑚

𝑏𝑖

𝑑𝑖𝑢(𝑡)

𝑑𝑡𝑖

Laplaceova transformace (LT)

zavedl ji Pierre Simon de Laplace (1749-1827)

využívá se zejména ve spojité oblasti, tzn. pro popis spojitých signálů a systémů

LT je vždy reálná racionální funkce nezávisle proměnné „p“ (v anglosaské literatuře též „s“).

LT je zobecněním Fourierovy transformace:

bázovou funkcí Fourierovy transformace je 𝑒𝑗𝜔𝑡,

bázovou funkcí Laplaceovy transformace je 𝑒𝑝𝑡, kde 𝒑 je tzv. Laplaceův operátor ( 𝑝 = 𝜎 + 𝑗𝜔).

Laplaceův obraz 𝐹(𝑝) spojité časové funkce 𝑓(𝑡) lze získat jako:

Zdroj: https://cs.wikipedia.org/wiki/
Pierre-Simon_Laplace

𝑓 𝑡 → 𝐹 𝑝

𝐹 𝑝 = න

0

∞

𝑓 𝑡 𝑒−𝑝𝑡𝑑𝑡

LT – příklad č.1

Najděte Laplaceův obraz funkce f(t).