02_Spojité systémy

𝑝 > 𝑎

Slovník Laplaceovy transformace

𝒇 𝒕 = ℒ−𝟏 𝑭 𝒑

𝑭(𝒑)

podmínky

sin(𝑎𝑡)

𝑎

𝑝2 + 𝑎2

𝑝 > 0

cos(𝑎𝑡)

𝑝

𝑝2 + 𝑎2

𝑝 > 0

𝑡𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑡)

2𝑎𝑝

𝑝2 + 𝜔2 2

𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡)

𝑝2 − 𝑎2

𝑝2 + 𝜔2 2

1 − 𝑒−𝑎𝑡

𝑎

𝑝 𝑝 + 𝑎

Vlastnosti Laplaceovy transformace

Linearita

LT je lineární transformace, čili platí: 

Posun v časové doméně

Je-li signál 𝑓(𝑡) posunutý v čase o konstantní hodnotu 𝑎, pak jeho Laplaceova transformace je:

Jinými slovy, pokud známe LT signálu 𝑓(𝑡), je snadné získat výsledek LT signálu posunutého v čase (dopředu
či dozadu) násobením původního obrazu 𝐹(𝑝) elementem 𝑒±𝑝𝑎.

𝑓 𝑡 = 𝛼1 ∙ 𝑓1 𝑡 + 𝛼2 ∙ 𝑓2 𝑡

𝐹 𝑝 = 𝛼1 ∙ 𝐹1 𝑝 + 𝛼2 ∙ 𝐹2 𝑝

𝑓 𝑡 ± 𝑎 → 𝑒±𝑝𝑎𝐹 𝑝

Vlastnosti Laplaceovy transformace

Laplaceův obraz derivace

Laplaceův obraz integrace

ℒ

𝑑𝑓(𝑡)

𝑑𝑡

= 𝑝𝐹 𝑠 − 𝑓(0)

ℒ

න

0−

𝑡

𝑓 𝜏 𝑑𝜏 =

1
𝑝

𝐹 𝑝

Využití LT pro řešení diferenciálních rovnic

Laplaceovu transformaci lze využít jako poměrně efektivní nástroj pro řešení lineárních DFR.

Využívá se vlastnost Laplaceova obrazu derivace (resp. vícenásobné derivace):

např.:

ℒ

𝑑𝑓(𝑡)

𝑑𝑡

= 𝑝𝐹 𝑝 − 𝑓(0)

ℒ

𝑑𝑛𝑓(𝑡)

𝑑𝑡𝑛

= 𝑝𝑛𝐹 𝑝 − ෍

𝑖=1

𝑛

𝑝𝑛−𝑖 𝑓 𝑖−1 (0)

𝑎

2

𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2

+ 𝑎

1

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡

+ 𝑎

0𝑦 𝑡

= 𝑢(𝑡)

0

𝑎

2 𝑝

2 𝑌 𝑝 + 𝑎

1 𝑝 𝑌 𝑝 + 𝑎0 𝑌 𝑝

= 𝑈 𝑝

diferenciální rovnice

polynomiální rovnice

* Při uvažování nulových počátečních podmínek

Operátorový přenos

Co je operátorový přenos (přenosová funkce)?

… v případě nulových počátečních podmínek (tj. pro t<0 - u(t)=0, y(t)=0):

Operátorový přenos je jedním z nejdůležitějších popisů LTI systémů.