02_Spojité systémy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
𝑓 𝑡 = ቊ
0,
𝑡 < 0
1,
𝑡 ≥ 0
1
2
-1
-2
1
0.5
t
𝑓(𝑡)
Signál f(t) je jednotkový skok.
𝐹 𝑝 = න
0
∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑝𝑡𝑑𝑡 = න
0
∞
1 𝑒−𝑝𝑡𝑑𝑡 =
ቤ
−
1
𝑝
𝑒−𝑝𝑡
0
∞
=
1
𝑝
LT – příklad č.2
Najděte Laplaceův obraz funkce f(t).
Signál f(t) je klesající exponenciála.
𝐹 𝑝 = න
0
∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑝𝑡𝑑𝑡 = න
0
∞
𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑝𝑡𝑑𝑡 = න
0
∞
𝑒−(𝑎+𝑝)𝑡𝑑𝑡 =
อ
−
𝑒−(𝑎+𝑝)𝑡
𝑎 + 𝑝
0
∞
=
1
𝑎 + 𝑝
t
1
2
-1
-2
1
0.5
𝑓(𝑡)
𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡
LT – příklad č.3
Najděte Laplaceův obraz funkce f(t).
Pozn.: Souvislost s FT?
𝑓 𝑡 = ቊ
1,
𝑡 ∈ < 0; 2 >
0,
𝑗𝑖𝑛𝑎𝑘
Signál f(t) je obdélníkový signál, nenulový v intervalu <0,2>
𝐹 𝑝 = න
0
∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑝𝑡𝑑𝑡 = න
0
2
1 𝑒−𝑝𝑡𝑑𝑡 =
ቤ
−
1
𝑝
𝑒−𝑝𝑡
0
2
=
1 − 𝑒−2𝑝
𝑝
1
2
-1
-2
1
0.5
t
𝑓(𝑡)
Inverzní Laplaceova transformace
Přímá Laplaceova transformace (LT) tedy přiřazuje originální časové funkci 𝑓(𝑡) obraz 𝐹(𝑝). Tato relace
se obecně zapisuje jako:
Inverzní (zpětná) Laplaceova transformace se využívá k nalezení originální časové funkce 𝑓(𝑡) z
Laplaceova obrazu 𝐹(𝑝) pomocí následujícího předpisu:
zápis této relace je obecně:
Pro zpětnou Laplaceovu transformaci se však častěji využívá „intuitivní přístup“ pomocí tzv. „slovníku“
𝒇 𝒕 = 𝓛−𝟏 𝑭 𝒑
𝑓 𝑡 =
1
2𝜋𝑗
න
𝑐−𝑗∞
𝑐+𝑗∞
𝑒𝑝𝑡𝐹 𝑝 𝑑𝑝
𝑭 𝒑 = 𝓛 𝒇 𝒕
Slovník Laplaceovy transformace
𝒇 𝒕 = ℒ−𝟏 𝑭 𝒑
𝑭(𝒑)
podmínky
𝛿 𝑡 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜𝑡𝑘𝑜𝑣ý 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠
1
𝜎 𝑡 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜𝑡𝑘𝑜𝑣ý 𝑠𝑘𝑜𝑘
1
𝑝
𝑝 > 0
𝑎
𝑎
𝑝
𝑝 > 0
𝑎𝑡
𝑎
𝑝2
𝑡 ≥ 0
𝑒−𝑎𝑡
1
𝑝 + 𝑎
𝑒𝑎𝑡
1
𝑝 − 𝑎
𝑝 > 𝑎
𝑡𝑒−𝑎𝑡
1
𝑝 + 𝑎 2
𝑡𝑒𝑎𝑡
1
𝑝 − 𝑎 2